IME / ITA ⇒ (IME/CG - 1998) Geometria Tópico resolvido

[Marcos]

Sobre os lados [tex3]AB[/tex3] e [tex3]BC[/tex3] de um quadrado [tex3]ABCD[/tex3] são construídos os triângulos equiláteros [tex3]ABM[/tex3], interiormente, e [tex3]BCP[/tex3], exteriormente ao quadrado. Demonstre que os pontos, [tex3]D[/tex3], [tex3]M[/tex3] e [tex3]P[/tex3] são colineares.

[fabit]

Vou fazer isso no plano complexo de Argand-Gauss [tex3]\mathbb{C}=\mathbb{R}^2[/tex3], com B na origem, A=1, C=i e D=1+i.

Sendo ABM equilátero, temos [tex3]M=cis(60^\circ)=\frac{1}{2}+\frac{i\sqrt{3}}{2}[/tex3].

Sendo BCP equilátero, temos [tex3]P=cis(150^\circ)=\frac{-\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}[/tex3].

Então M-P e D-P podem ser calculados e se pode verificar se têm o mesmo argumento. Se sim, então P, M e D são colineares.

[tex3]PM=M-P=\frac{1+\sqrt{3}}{2}+\frac{i(\sqrt{3}-1)}{2}[/tex3]

[tex3]PD=D-P=1+\frac{\sqrt{3}}{2}+i(1-\frac{1}{2})=\frac{2+\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}[/tex3]

Os argumentos respectivos são [tex3]\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}[/tex3] e [tex3]\frac{1}{2+\sqrt{3}}[/tex3].

Racionalizando, o primeiro é [tex3]\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1}=\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}=2-\sqrt{3}[/tex3] e o segundo é [tex3]\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}=2-\sqrt{3}[/tex3]

cqd

[Marcos]

Obrigado pela ajuda caro fabit!!