Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória: Triângulo de Pascal Tópico resolvido

[Flavio2008]

Marcelo ganhou certo número de livros e tem [tex3]120[/tex3] alternativas distintas para escolher pelo menos dois desses livros para ler nas férias. O número de livros que Marcelo ganhou é :

a) [tex3]8[/tex3]
b) [tex3]7[/tex3]
c) [tex3]128[/tex3]
d) par
e) múltiplo de [tex3]3.[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Flavio2008,

Digamos que ele tenha [tex3]x[/tex3] livros. Se ele poderá escolher ou [tex3]2[/tex3] livros, ou [tex3]3[/tex3] livros, ou [tex3]4[/tex3] livros, ou [tex3]5[/tex3] livros, ... teremos várias combinações para chegar ao número [tex3]120:[/tex3]

• [tex3]C_{x}^{2}+C_{x}^{3}+C_{x}^{4}+C_{x}^{5}+\ldots +C_{x}^{x}=120[/tex3]

Note que esta soma está parecida com a soma dos elementos da [tex3]x-[/tex3] ésima linha do triângulo de pascal. Digo parecida pois a linha possui dois termos a mais, [tex3]C_{x}^{0}=1[/tex3] e [tex3]C_{x}^{1}=x.[/tex3] E a soma de todos os elementos da x-ésima linha do triângulo de pascal vale [tex3]2^x .[/tex3]

Podemos então somar dos dois lados da equação acima os termos que faltam:

• [tex3]C_{x}^{0}+C_{x}^{1}+C_{x}^{2}+C_{x}^{3}+C_{x}^{4}+C_{x}^{5}+\ldots +C_{x}^{x}=120+x+1[/tex3]

E agora podemos trocar a soma da linha do triângulo de Pascal pelo seu valor [tex3]2^x[/tex3]

• [tex3]2^x=120+x+1[/tex3]
  
  [tex3]2^x-x=121[/tex3]

Note que o valor [tex3]x=7[/tex3] é a solução da equação acima.

Resposta letra (b).