Ensino Médio ⇒ Permutação Simples Tópico resolvido

[DouglasM]

Quantas permutações simples dos números 1, 2,...,n nas quais o elemento que ocupa a k-ésima posição é inferior a k+4, para todo k?

Resposta

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Resposta: [tex3]6.4^{n-3}[/tex3]

Nesse ai até idéias vagas estou aceitando...=P

[DouglasM]

Esse eu também acabei conseguindo. Como já está aqui, e não posso mais apagar a dúvida, vou postar a resposta para quem se interessar:

Comecemos pela primeira casa:

1+ 4 = 5; Na primeira casa, os números devem ser menores que 5. Logo serão 1, 2, 3 ou 4. Temos 4 possibilidades.

Na segunda casa:

2 + 4 = 6; Na segunda casa, os números devem ser menores que 6. Logo serão 1, 2, 3, 4 ou 5. Mas temos só 4 possibilidades, pois devemos descontar o número que foi anteriormente usado.

Raciocínio análogo é feito para as outras casas. Até chegarmos a (n-2)-ésima casa:

Nesta casa, só existem 3 possibilidades. Que podem ser, por exemplo, (n-2), (n-1) e n (Esse exemplo é só para ilustrar que haverão 3 possibilidades, haja vista que poderá ser qualquer número do conjunto dos inteiros até n. O fato é que só sobrarão 3 números ao chegarmos nessa casa.).

Na casa seguinte teremos 2 possibilidades e na n-ésima casa sobrará apenas 1. Sendo assim, temos:

[tex3]4 . 4 . 4 . (...) . 4 . 3 . 2 . 1 = 6.4^{n-3}[/tex3]