IME / ITA ⇒ (EEAR - 1988) Geometria Plana Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Na figura abaixo, [tex3]PD[/tex3] é bissetriz do ângulo [tex3]P[/tex3]. A medida do ângulo [tex3]x[/tex3], em graus, é:

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a) [tex3]120[/tex3].
b) [tex3]130[/tex3].
c) [tex3]135[/tex3].
d) [tex3]145[/tex3].

[fabit]

Deveriam ter escrito que AB é diâmetro, pra não haver dúvida. Do contrário, X fica variável.

Chamando de K o vértice onde X está indicado (X=PKB), vou achar seu suplemento PKC.

[tex3]B\hat{P}C=\frac{\widehat{BC}-\widehat{CA}}{2}[/tex3] E como CA e CB são suplementares temos

[tex3]B\hat{P}C=\frac{\widehat{BC}-(180^\circ-\widehat{BC})}{2}=\widehat{BC}-90^\circ[/tex3]

Sobre a corda BC, no entanto, está formado um ângulo de segmento (no prolongmento de PC) igual a [tex3]\frac{\widehat{BC}}{2}[/tex3].

No triângulo PKC, o ângulo de segmento acima é o externo e assim vale a soma de [tex3]P\hat{K}C[/tex3] com [tex3]K\hat{P}C=\frac{B\hat{P}C}{2}[/tex3].

Então [tex3]\frac{\widehat{BC}}{2}=P\hat{K}C+\frac{B\hat{P}C}{2}[/tex3]

[tex3]P\hat{K}C=\frac{\widehat{BC}}{2}-\frac{\widehat{BC}-90^\circ}{2}[/tex3]

[tex3]P\hat{K}C=45^\circ\Rightarrow\boxed{P\hat{K}B=135^\circ}[/tex3]

Letra C.