Ensino Médio ⇒ Somatórios

[DouglasM]

Eu resolvi a seguinte questão e encontrei uma resposta diferente do gabarito. Eis a questão:

Calcule [tex3]\sum_{k=0}^n (k+1) C_n ^k[/tex3].

Minha resolução:

[tex3]\sum_{k=0}^n (k+1) C_n ^k[/tex3] = [tex3]\sum_{k=0}^n (k+1).\sum_{k=0}^n C_n ^k[/tex3]

[tex3]\sum_{k=0}^n (k+1) C_n ^k[/tex3] = [tex3]2^n \sum_{k=0}^n C_{k+1} ^1[/tex3]

(Os resultados são obtidos através dos teoremas das colunas e das linhas do triângulo de Pascal, respectivamente.)

[tex3]\sum_{k=0}^n (k+1) C_n ^k[/tex3] = [tex3]C_{n+2} ^2 . 2^n[/tex3] = [tex3](n+2)(n+1).2^{n-1}[/tex3]

No gabarito a resposta é somente [tex3](n+2).2^{n-1}[/tex3]

Será que estou fazendo errado mesmo ou o gabarito esqueceu o (n+1)?

[FilipeCaceres]

Olá DouglasM ,

O erro está nesta passagem,
[tex3]\sum_{k=0}^n (k+1) C_n ^k \neq \sum_{k=0}^n (k+1).\sum_{k=0}^n C_n ^k[/tex3]

O que você pode fazer é o seguinte,
[tex3]\sum_{k=0}^n (k+1) C_n ^k=\sum_{k=0}^n (k.C_n ^k+C_n ^k)=\sum_{k=0}^n kC_n ^k+\sum_{k=0}^n C_n ^k[/tex3]

Temos que,
[tex3]\sum_{k=0}^n kC_n ^k=n.2^{n-1}[/tex3]
[tex3]\sum_{k=0}^n C_n ^k=2^n[/tex3]

Logo,
[tex3]\boxed{\sum_{k=0}^n (k+1) C_n ^k =n.2^{n-1}+2^n}[/tex3]

Se não souber alguma passagem é só perguntar.

Abraço.