IME / ITA ⇒ (CN - 2002) Algarismos Distintos Tópico resolvido

[rean]

Se a , b e c são algarismos distintos, no sistema de numeração decimal, existe um único número de dois algarismos
[tex3](ab)^2 - (bc)^2 = (cc)^2[/tex3] . O valor de [tex3](a+b+c)[/tex3] é iqual a:

a) 11
b) 12
c) 13
d) 14
e) 15

Resposta

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D

[Thadeu]

Rean, a equação é [tex3](ab)^2-(ba)^2=(cc)^2[/tex3].

Um número de dois algarismos é formado por unidades e dezenas (múltiplos de 10), logo:
[tex3]ab=(10a+b)\\ba=(10b+a)\\cc=(10c+c)[/tex3]

Substituindo na equação:

[tex3](10a+b)^2-(10b+a)^2=(10c+c)^2\\100a^2+20ab+b^2-100b^2-20ab-a^2=[(10+1)c]^2\\99a^2-99b^2=11^2c^2[/tex3]

Simplificando por 11
[tex3]9a^2-9b^2=11c^2\,\Rightarrow\,9(a^2-b^2)=11c^2\,\Rightarrow\,\frac{a^2-b^2}{c^2}=\frac{11}{9}\\\Rightarrow\,\frac{(a+b)(a-b)}{c^2}=\frac{11}{3^2}[/tex3]
Então, [tex3]c=3\,\,e\,\,(a+b)(a-b)=11[/tex3]
Como 11 é um número primo, ele só tem 2 divisores, um e onze, logo:
[tex3](a+b)(a-b)=11\,\times\,1\,\Rightarrow\,a+b=11\,\,e\,\,a-b=1\\a=6\,\,\,e\,\,\,b=5[/tex3]

Com isso, a soma [tex3]a+b+c=6+5+3=14[/tex3]