Ensino Médio ⇒ Trigonometria: Sistema de Equações Trigonométricas

[ricardao]

Sejam [tex3]a[/tex3] e [tex3]b,[/tex3] números reais, e que satisfaçam o sistema

• [tex3]\begin{cases}1 + \cos x = a\cdot \sin x \\ 1- \cos x = b\cdot \sin x \end{cases}[/tex3]

Determine a relação entre [tex3]a[/tex3] e [tex3]b,[/tex3] sabendo que [tex3]x \neq \frac{\pi}{2}+ k\pi .[/tex3]

[bigjohn]

Some as duas equações e isole [tex3]\sin x.[/tex3]

• [tex3]\sin x=\frac{2}{a+b}[/tex3]

Substitua esse valor na primeira equação e isole o [tex3]\cos x[/tex3]

• [tex3]\cos x=\frac{a-b}{a+b}[/tex3]

Daí,

• [tex3]\sin^2 x+\cos^2 x=1[/tex3]
  
  [tex3]\left(\frac{2}{a+b}\right)^2+\left(\frac{a-b}{a+b}\right)^2=1[/tex3]
  
  [tex3]4+a^2-2ab+b^2=a^2+2ab+b^2[/tex3]
  
  [tex3]4=4ab[/tex3]
  
  [tex3]ab=1[/tex3]

Essa é a relação que deve haver entre [tex3]a[/tex3] e [tex3]b.[/tex3]