IME / ITA ⇒ (EN - 1988) Análise Combinatória: Diagonais de um Poliedro Tópico resolvido

[carlos_neves]

Um poliedro convexo é formado por 10 faces triangulares e 10 faces pentagonais. O número de diagonais deste poliedro é:

a) 60
b) 81
c) 100
d) 121
e) 141

Resposta:

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B

[cajuADMIN]

Olá carlos_neves,

Se tem [tex3]10[/tex3] faces triangulares e [tex3]10[/tex3] pentagonais, temos no total [tex3]20[/tex3] faces.

As [tex3]10[/tex3] faces triangulares geram [tex3]30[/tex3] arestas.

As [tex3]10[/tex3] faces pentagonais geram [tex3]50[/tex3] arestas.

Destas [tex3]50+30=80[/tex3] arestas, sabemos que cada [tex3]2[/tex3] geram [tex3]1[/tex3] aresta para o poliedro. Ou seja, nosso poliedro tem [tex3]40[/tex3]arestas.

Pela relação dos poliedros

[tex3]V+F=A+2[/tex3], temos

[tex3]V+20=40+2[/tex3]

[tex3]V=22[/tex3]

Cada dois vértices irá gerar uma reta que pode ser aresta ou diagonal do poliedro ou diagonal de face:

[tex3]C_{22}^2=231[/tex3]

Ou seja, destas [tex3]231[/tex3] temos as [tex3]40[/tex3] arestas e [tex3]231-40=191[/tex3] diagonais. Agora, dentre estas [tex3]191[/tex3] diagonais, devemos retirar as diagonais de face.

Nas faces triangulares, não teremos diagonais de face. Em cada face pentagonal teremos [tex3]C_5^2-5=10-5=5[/tex3], ou seja, cada face pentagonal tem [tex3]5[/tex3] diagonais de face. Portanto, teremos [tex3]5\cdot 10=50[/tex3] diagonais de face.
Assim, [tex3]191-50=141[/tex3] diagonais do poliedro

[carlos_neves]

Obrigado Prof. Caju

Também não concordei com o gabarito mas também não havia chegado em nenhuma das alternativas hehe