Olimpíadas ⇒ quantidade de algarismos Tópico resolvido

[rean]

A quantidade de números de 2006 algarismos é igual a:

a) [tex3]10^{2006}[/tex3]
b) [tex3]10^{2005}[/tex3]
c) [tex3]9\cdot 10^{2005}[/tex3]
d) [tex3]9 \cdot 10^{2006}[/tex3]
e) [tex3]10^{2006} - 10^{2005} - 1[/tex3]

[jade]

Temos que [tex3]10^{2006}[/tex3] tem [tex3]2007[/tex3] logo concluimos que toda potência de base [tex3]10[/tex3] elevada a [tex3]x[/tex3] tem [tex3]x+1[/tex3] numeros logo [tex3]10^x[/tex3] tem [tex3]x+1[/tex3] nomeros logo [tex3]x+1=2006[/tex3]
[tex3]x=2005[/tex3] logo temos [tex3]10^{2005}[/tex3] com 2006 algarismos

[Agash]

Desculpe-me dar um palpite, talvez...
Creio que a questão seja mais simples..

A única restrição para formarmos números de 2006 algarismos é que o "1º"(da esquerda) seja diferente de 0.Sendo assim, para o primeiro(da esquerda) temos 9 opções e para os outros não temos nenhuma restrição temos assim 10 opções para cada.Portanto , a quantidade de números de 2006 algarismos é igual a [tex3]9. 10^{2005}[/tex3]

[lecko]

Não sei muito bem combinação, mas ao que me parece isso também pode ser feito por combinação.
não sei fazer, mas aí vai o que pensei:
temos [tex3]2006[/tex3] algarismos a serem preenchidos de diferentes formas, onde a ordem é importante.
e temos [tex3]10[/tex3] números distindos que de diferentes formas podem preencher o número.
A partir daí alguém será que consegue fazer ?
Se conseguir por favor poste a solução.

[lucas36]

Um número de [tex3]2006[/tex3] algarismos possui a seguinte forma:
[tex3]k=a_1a_2\ldots a_{2005}a_{2006}[/tex3], onde [tex3]a_i\in \{0, 1, 2, 3, \ldots, 8, 9\}[/tex3]
Claramente [tex3]a_1\ne 0[/tex3] pois [tex3]k[/tex3] teria [tex3]2005[/tex3] algarismos e não [tex3]2006[/tex3] ! Veja que [tex3]037=37; 02011=2011[/tex3].
Logo, [tex3]a_1[/tex3] pode assuimr [tex3]9[/tex3] valores distintos [tex3]\{1, 2, 3, \ldots, 8, 9\}[/tex3]. Para cada [tex3]a_i[/tex3] restante [tex3](i>1)[/tex3], temos [tex3]10[/tex3] possíveis valores. Veja que temos [tex3]2005[/tex3] termos [tex3]a_i(i>1)[/tex3].
Pelo princípio multiplicativo, segue que temos [tex3]9\times \underbrace{10\times 10\times \ldots\times 10}_{2005}=9\cdot 10^{2005}[/tex3] número com [tex3]2006[/tex3] algarismos.
Em geral, temos [tex3]9\cdot 10^{n-1}[/tex3] números com [tex3]n[/tex3] algarismos, para todo [tex3]n>1[/tex3].

Outro modo de pensar é observando que [tex3]1\underbrace{00\ldots 0}_{2005}[/tex3] e [tex3]\underbrace{999\ldots 9}_{2006}[/tex3] são o menor e o maior número de [tex3]2006[/tex3] algarismos, respectivamente. Por um princípio simples de contagem, o conjunto dos inteiros positivos de [tex3]2006[/tex3] algarismos possui [tex3]\underbrace{999\ldots 9}_{2006}-1\underbrace{00\ldots 0}_{2005}+1=9\underbrace{00\ldots 0}_{2005}=9\cdot 10^{2005}[/tex3] elementos.

A resposta correta é (c)

[lecko]

Muito bom....
Achei fantástica sua solução Lucas...
valeu/abraço.

[Agash]

De onde vc tirou essa questão?

(Tópico ensino médio...)

[lucas36]

Agash,
creio que o seu "ridículo" e "sem graça" refira-se á simplicidade da questão.
Eu admito que para quem tem um conteúdo matemático mais avançado isso possa parecer "fácil" de se resolver.
Mas o nível de dificuldade das questões depende do ponto de vista de cada um.
E o modo "ridículo" pelo qual eu postei, nada mais é do que um modo bem simples de resolver o problema para uma pessoa sem o mínimo conhecimento em Análise Combinatória entender.

A beleza matemática de um problema não está em sua simplicidade e sim na matemática que ela produz, para a resolução de outros.
O princípio multiplicativo e ideias de minimização e maximização de casos, usadas por mim, podem ser super úteis em problemas que eu tenho certeza de que você não achará tão rídiculo ou sem graça.

[Agash]

creio que o seu "ridículo" e "sem graça" refira-se á simplicidade da questão.

Exatamente!

A melhor solução é a mais simples...
Se vc puder contar no dedo então tá ótimo! (sem ironia)

Muito bom....
Achei fantástica sua solução Lucas...
valeu/abraço.

Tbm achei fantástica sua solução!

Abraço
Bons estudos!

[rean]

De onde vc tirou essa questão?

(Tópico ensino médio...)

Muitas questões são criadas por mim,embora saiba da solução, mas sempre tem alguém que pode dar uma solução mais elegante para a questão.
agradeço a atenção de todos pelo empenho.

Prof. Rean