Ensino Fundamental ⇒ Geometria Plana: Relações Métricas no Triângulo Retângulo

[aristotélico]

Se o perímetro de um triângulo retângulo isósceles é [tex3]2p[/tex3], determine a altura relativa à hipotenusa.

espero a ajuda de vcs, abraços

[italoemanuell]

Olá aristotélico!!!

Vamos a solução.

1º) Suponha um triângulo retângulo isósceles ABC reto em à e cujo valor de AB=AC=a. Mas, pelo t. de Pitágoras temos que a hipotenusa do triângulo vale:

[tex3]BC^2 = a^2+a^2 = 2a^2\cdot BC=a\sqrt{2}[/tex3].
Logo,[tex3]a+a+a\sqrt{2}[/tex3]=2p => 2a+[tex3]a\sqrt{2}[/tex3]=2p =>
[tex3]a\cdot (2+\sqrt{2})=2p => a=\frac{2p}{\sqrt{2}+2}[/tex3]. Racionalizando esse último resultado, obtemos [tex3]a=p\cdot (2-\sqrt{2})[/tex3](*)

2º) Seja AH=x a altura relativa à hipotenusa(que também é mediana e bissetriz). Pelo T. de Pitágoras,sabe-se que [tex3]AB^2=AH^2+BH^2[/tex3]=>[tex3]a^2=x^2+(\frac{a\cdot \sqrt{2}}{2})^2[/tex3]. Simplificando esse equação encontramos que:
[tex3]x=\frac{a\cdot \sqrt{2}}{2}[/tex3](**)

Subtituindo (*) em (**),obtemos que [tex3]x=\frac {p\cdot (2-\sqrt{2})\cdot \sqrt{2}}{2}[/tex3]=>[tex3]AH=x=p\cdot (\sqrt{2}-1)[/tex3].

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"Sem a Matemática, não poderia haver Astronomia; sem os recursos maravilhosos da Astronomia, seria completamente impossível a navegação. E a navegação foi o fator máximo do progresso da humanidade. (Amoroso Costa)"