Olimpíadas ⇒ Algarismos distintos

[rean]

Sabendo que S , H e E são algarismos distinto tais que
[tex3](HE)^2 = SHE[/tex3], o valor de S x H x E é:

a)60 B)48 c)36 d)24 e)18

[Marcos]

Olá, rean.

[tex3](H.E)^{2}=S.H.E[/tex3]

[tex3]S[/tex3].[tex3]H[/tex3].[tex3]E = a[/tex3].[tex3]b[/tex3].[tex3]c[/tex3]

[tex3](H.E)^{2} = (b.c)^{2}[/tex3]

[tex3](b.c)^2=a.b.c \rightarrow b.c.b.c=a.b.c \rightarrow a=b.c \rightarrow a^{2}=(b.c)^2[/tex3]

se [tex3](b.c)^2=a.b.c \rightarrow a^{2}=a.b.c[/tex3]

[tex3]a^{2}=a.b.c = 60[/tex3];[tex3]48[/tex3];[tex3]36[/tex3];[tex3]24[/tex3];[tex3]18[/tex3].

[tex3]a^{2} = quadrado perfeito \rightarrow[/tex3] [tex3]a^{2} = 36 \rightarrow[/tex3] [tex3]36 = a.b.c[/tex3]

[tex3]a^{2} = 36 \rightarrow[/tex3] [tex3]a=6[/tex3]

[tex3]a=b.c \rightarrow[/tex3] [tex3]6=b.c \rightarrow[/tex3] [tex3]b,c = 2,3[/tex3]

[tex3]S[/tex3].[tex3]H[/tex3].[tex3]E = a[/tex3].[tex3]b[/tex3].[tex3]c[/tex3]

[tex3]S[/tex3].[tex3]H[/tex3].[tex3]E = 6.2.3[/tex3]

[tex3]S[/tex3].[tex3]H[/tex3].[tex3]E = 36 \rightarrow Letra: (C).[/tex3]

Resposta:[tex3]C[/tex3]

[FilipeCaceres]

Olá Marcos,

Veja que:
[tex3]HE\neq H\cdot E[/tex3]
[tex3]SHE\neq S\cdot H\cdot E[/tex3]

Uma solução:
Temos,
[tex3](HE)^2 = SHE[/tex3]

Os únicos valores possível para são [tex3]E=\{0,1,5\}[/tex3], pois quando elevados ao quadrado resulta nele mesmo. Desta forma basta analisar os seguintes casos:
[tex3]HE=\{10,20,30,11,21,31,15,25\}[/tex3]

Veja que,
[tex3]40^2=1600 >999[/tex3]
[tex3]41^2=1681>999[/tex3]
[tex3]35^2=1225>999[/tex3]

Testando encontramos
[tex3]HE=25[/tex3]

Logo,
[tex3](HE)^2=625=SHE[/tex3]

Portanto,
[tex3]S\cdot H\cdot E=6\cdot 2\cdot 5[/tex3]
[tex3]\boxed{S\cdot H\cdot E=60}[/tex3]. Letra A

Abraço.

[jacobi]

Sabendo que S , H e E são algarismos distinto tais que
[tex3](HE)^2 = SHE[/tex3], o valor de S x H x E é:

a)60 B)48 c)36 d)24 e)18

[tex3](10H + E)^{2} = 100H^{2} + 20HE + E^{2} = 100S + 10H + E[/tex3]
Logo, [tex3]E = 1 \,, \,5 \,,\, 6[/tex3], pois [tex3]1^{2} = 1\, , \, 5^{2} = 25 \, , \, 6^{2} = 36[/tex3]
[tex3]100H^{2} + 20H + 1 = 100S + 10H + 1[/tex3]
[tex3]100H^{2} + 10H = 100S[/tex3]
[tex3]10H^{2} + H = 10S[/tex3] Logo, nenhum algarismo serve.

[tex3]100H^{2} + 100H + 25 = 100S + 10H + 5[/tex3]
[tex3]100H^{2} + 90H + 20 = 100S[/tex3]
[tex3]10H^{2} + 9H + 2 = 10S[/tex3]
Se [tex3]H = 2[/tex3], então temos: [tex3]S = 6[/tex3]
Assim, o número poderá ser [tex3]625[/tex3] e o produto dos algarismo será [tex3]60[/tex3].