IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2003) Equação Trigonométrica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O número de soluções da equação

[tex3](1-cosx)+\frac{(1-cosx)^2}{2}+\frac{(1-cosx)^3}{4}+...=2[/tex3], para [tex3]x[/tex3] real, quando [tex3]0 \leq x \leq 4\pi[/tex3], é:

(A) [tex3]1[/tex3].
(B) [tex3]2[/tex3].
(C) [tex3]3[/tex3].
(D) [tex3]4[/tex3].
(E) [tex3]6[/tex3].

Resposta

---

D

[Thadeu]

Fazendo [tex3](1-cosx)=k[/tex3] (apenas para simplificar), temos uma soma dos termos de uma PG de razão [tex3]q=\frac{k}{2}[/tex3]:

[tex3]k+\frac{k^2}{2}+\frac{k^3}{4}+...=2[/tex3]

A soma dos termos da PG infinita é:
[tex3]S=\frac{a_1}{1-q}\\2=\frac{k}{1-\frac{k}{2}}\,\Rightarrow\,2=\frac{2k}{2-k}\,\Rightarrow\,1=\frac{k}{2-k}\,\Rightarrow\,2-k=k\,\Rightarrow\,k=1[/tex3]

[tex3]1-cosx=1\,\Rightarrow\,cosx=0[/tex3]

Os valores de x são [tex3]\{\frac{\pi}{2}\,,\,\frac{3\,\pi}{2}\,,\,\frac{5\,\pi}{2}\,,\,\frac{7\,\pi}{2}\}[/tex3]

Resp: 4 valores (D)