IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2002) Equação Trigonométrica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

O número de soluções reais da equação [tex3]sen(\frac{1}{x})=x-2[/tex3] é igual a [tex3]n[/tex3]; assim, pode-se concluir que:

(A) [tex3]n=0[/tex3].
(B) [tex3]n=1[/tex3].
(C) [tex3]n=2[/tex3].
(D) [tex3]n=3[/tex3].
(E) [tex3]n > 3[/tex3].

Resposta

---

C

[mvgcsdf]

Fiz assim:
primeiro, fiz uma transformação de variáveis.
Chamei [tex3]\frac{1}{x}[/tex3] de [tex3]u[/tex3] e reescrevi a equação como:
[tex3]sen(u)=\frac{1}{u} {-}2[/tex3]
"Arrumando" a equação, teremos:
[tex3]sen(u)=\frac{1-2u}{u}[/tex3]
Resolvendo esta equação, teremos:
[tex3]u=0[/tex3] e [tex3]u=\frac{1}{2}[/tex3]
Assim, são 2 soluções e n = 2.

[Natan]

Como resolveu a equação depois da transformação?

[hygorvv]

para [tex3]u=0[/tex3]
[tex3]\frac{1}{x}=u[/tex3]
[tex3]\frac{1}{x}=0[/tex3]
[tex3]1=0[/tex3]
???

[cajuADMIN]

Olá a todos,

Devemos resolver essa questão fazendo o gráfico de ambos os lados e vendo em quantos pontos eles se interceptam.

É claro que o gráfico de [tex3]\sin\(\frac 1x\)[/tex3] é difícil de conseguirmos desenhar, mas a banca criadora da questão já pensou nisso e colocou o [tex3]g(x)=x-2[/tex3] justamente para que não precisemos ir muito longe na precisão do desenho.

Veja que, para valores de [tex3]x[/tex3] positivos, maiores do que [tex3]1[/tex3], [tex3]f(x)=\sin\(\frac 1x\)[/tex3] sempre será positivo. E quanto mais aumentarmos o valor de [tex3]x[/tex3], mais próximo de ZERO estará a [tex3]f(x)[/tex3]. Podemos, então, desenhar a função [tex3]f(x)=\sin\(\frac 1x\)[/tex3], para [tex3]x\ge 1[/tex3] como sendo algo parecido com uma exponencial. Para valores [tex3]x\lt 1[/tex3], não iremos nos preocupar, pois, ao desenhar [tex3]g(x)=x-2[/tex3] vemos que, para estes valores, [tex3]g(x)< -1[/tex3], o que está fora do alcance da função seno.

Com esta idéia, podemos chegar num gráfico parecido com este:

tutor.GIF (5.63 KiB) Exibido 2909 vezes

Veja que só conseguimos uma intereseção entre os gráficos, ou seja, a resposta correta é a letra B.

Um grande abraço,
Prof. Caju