Olimpíadas ⇒ TEORIA DOS NUMEROS (representação decimal)

[rean]

A soma dos algarismos do menor inteiro n para o qual o número 2003n termna em 113 quando escrito na notação decimal é igual a.

a)11 b)13 c) 15 d) 17 e) 19

[lucas36]

Se [tex3]2003n[/tex3] termina em [tex3]113[/tex3] na representação decimal, então [tex3]2003n\equiv 113\pmod{1000}[/tex3], onde [tex3]3n\equiv 113\pmod{1000}[/tex3]. Veja que [tex3]667\cdot 3=2001\equiv 1\pmod {1000}[/tex3] e logo:
[tex3]667\cdot 3n\equiv 667\cdot 113\pmod{1000}[/tex3]
[tex3]n\equiv 75371\pmod{1000}[/tex3]
[tex3]n\equiv 371\pmod{1000}[/tex3]
Como [tex3]n[/tex3] é o menor possível, [tex3]n=371[/tex3] e a soma é [tex3]s(371)=3+7+1=11[/tex3].
Resposta a).

[SirTcgm]

Para simplificar as contas você poderia observar que no ponto em que está escrito [tex3]3n\equiv 113\pmod{1000}[/tex3] você poderia somar 1000 ao lado direito da congruência e como [tex3]\text{mdc}(3,1000)=1[/tex3] você poderia dividir os dois lados por 3, como a seguir:
[tex3]3n\equiv 113\pmod{1000}[/tex3]
[tex3]3n\equiv 1113\pmod{1000}[/tex3]
[tex3]n\equiv 371\pmod{1000}[/tex3]

E daí a conclusão pode ser tomada.

TM