Olimpíadas ⇒ Teoria dos Números (algarismos não nulo)

[rean]

O número [tex3]\sqrt{2000^{2000}}[/tex3] termina com uma grande quantidade de zeros. O primeiro algarismos não nulo da direita para a esquerda é.

a)2 b)4 c) 6 d) 8 e) ímpar

[Marcos]

[tex3]\sqrt{2000^{2000}}=(2000^{2000})^{\frac{1}{2}}=2000^{1000}=(2\cdot 10^{3})^{1000}=2^{1000}\cdot 10^{3000}[/tex3].

[tex3]Observe:[/tex3]
[tex3]2^{1}=2[/tex3]
[tex3]2^{2}=4[/tex3]
[tex3]2^{3}=8[/tex3]
[tex3]2^{4}=16[/tex3]
[tex3]2^{5}=32[/tex3]
[tex3]2^{6}=64[/tex3]
[tex3]........[/tex3]

Repare que os últimos algarismos são:2,4,8,6,2,4,8,6,2,4,8,....
Observe que a cada 4 potências elas se repetem formando um ciclo de 4 unidades(2,4,8,e 6),então,dividindo o expoente de [tex3]2^{1000}[/tex3] por 4 obteremos o primeiro algarismo não nulo da direita para a esquerda.

[tex3]\frac{1000}{4}=250{\Rightarrow}\text{ deixando resto }0.[/tex3]

Logo,teremos 250 ciclos de 4 unidades completos não havendo sobra de unidades,então:
(2,4,8,6,2,4,8,6,2,4,8,6,.............,2,4,8,6,2,4,8,6),logo a resposta é a letra:[tex3](C).[/tex3]

[tex3]2^{1000}\cdot 10^{3000}=(.......6000000...00000){\Rightarrow}[/tex3] o algarismo ''6'' seguido de 3000''zeros'' da direita para a esquerda.