IME / ITA ⇒ (EN - 1997) Análise Combinatória: Combinações Completas Tópico resolvido

[bruninha]

Um grupo de trabalho na Marinha do Brasil deve ser
composto por 20 oficiais distribuídos entre o Corpo da
Armada, Corpo de Intendentes e Corpo de Fuzileiros
Navais. O número de diferentes composições onde
figure pelo menos dois oficiais de cada corpo é igual
a:

a) 120
b) 100
c) 60
d) 29
e) 20

[Alexandre_SC]

não nos interessa quem são os oficiais e sim sua origem que pode ser uma das tres opções.

obrigatoriamente são 20.

então, como a ordem não importa

reservamos seis vagas;

temos então
[tex3]a,\,b,\, e \, c \, \in N : a+b+c = 14[/tex3]

c tem apenas um valor possível para cada valor de a+b
entretanto a+b pode ser qualquer valor de zero a quatorze
a+b = 0: 1 possibilidade
a+b = 1: 2 possibilidades
a+b = 2: 3 possibilidades
ou seja o número de possibilidades é dado por a+b+1

[tex3]\sum_{n=0}^{14} n+1 = \frac{n\cdot(1+14+1)}{2} = \frac{16\cdot 14}{2} = 112[/tex3]

então alguem, onde foi que eu errei dessa vez?

[mvgcsdf]

Caro Alexandre, vc começou certo, mas o término está errado.

[marco_sx]

Bom Alexandre perceba que o resultado do seu somatório está incorreto. O certo seria:

[tex3]\sum_{n=0}^{14} n+1=1+2+3+4+...+15=\frac{15.16}{2}=120[/tex3]

Mas existe outra maneira de fazer hehehe ... perceba que [tex3]\frac{15.16}{2}=C_{16}^2[/tex3].
E aí, alguma idéia?

[Alexandre_SC]

Eu Confio Em O Que Vc diz mesmo!

eu sou mal em analise combinatoria, mas sempre penso que consigo responder!

um dia eu aprendo!

[paulo testoniMOD]

Hola.

Sejam x, y e z as quantidades de oficiais que devem servir as três corporações da marinha. Sabemos que x + y + z = 20, e que x ≥ 2, y ≥ 2, z ≥ 2, portanto façamos a seguinte substituição:
x = x'+2
y = y'+2
z = z'+2. Agora, podemos resolver x'+y'+z' = 20 - (2 + 2 + 2), para x', y' e z' > 0

x'+y'+z' = 14
O número de soluções inteiras e positivas desta equação é dado por:

(m + n - 1)!/n!(m - 1)! , onde m é igual ao número de incógnitas da equação e n é a soma das possibilidades das incógnitas. Logo:

(14 + 3 - 1)!/14!(3 - 1)! = 16!/14!2! = 120

[edu_landim]

Uma outra maneira seria considerar que temos ainda 14 vagas (cada uma indicada por *) a serem distribuídas para essas três corporações, já que já foram destinadas 2 vagas para cada grupo. Faremos essa divisão com duas barras (/).

Por exemplo 3 vagas pra CA; 5 vagas pra CI e 6 vagas pra CF ficaria assim

_ _ * _ * _ * / * _ * _ * _ * _ * / * _ * _ * _ * _ * _ * _ _

Perceba que para definir como serão distribuídas as vagas basta definirmos a posição das duas barras, lembrando que há 16 espaços ( _ ) entre os 14 *.

Para a 1ª barra temos 16 possibilidades;
Para a 2ª barra temos 15 possibilidades;

Como as barras são iguais tanto faz colocar a "1ª na posição X e 2ª na posição Y" ou "2ª na posição X e 1ª na posição Y".

Logo teremos [tex3]\frac{16\,\cdot\,15}{2}\,=\,120\,[/tex3] possibilidades para destinar as vagas às três coorporações.