Pré-Vestibular ⇒ (MACK 1953) Progressão Geométrica

[ALDRINMOD]

A soma dos [tex3]5[/tex3] termos de uma [tex3]P.G.[/tex3] de números reais é [tex3]484[/tex3] e a soma dos termos de ordem par é [tex3]120[/tex3]. Escrever a [tex3]P.G[/tex3].

[fabit]

[tex3]\begin{cases}a+aq+aq2+aq^3+aq^4=484\\aq+aq^3=120\end{cases}[/tex3]

Acho que é pra usar aquela transformação de polinômios simétricos. Eu vou ver se é isso mesmo e já posto, porque dá um certo trabalho...

[hygorvv]

[tex3]\begin{cases}a+aq+aq2+aq^3+aq^4=484\\aq+aq^3=120\end{cases}[/tex3]

Acho que é pra usar aquela transformação de polinômios simétricos. Eu vou ver se é isso mesmo e já posto, porque dá um certo trabalho...

[tex3]\begin{cases}a+aq+aq2+aq^3+aq^4=484\\aq+aq^3=120\end{cases}[/tex3]
coloca [tex3]a[/tex3] em evidencia e divide uma pela outra
[tex3]30+30q+30q^{2}+30q^{3}+30q^{4}=121q+121q^{3}[/tex3]
[tex3]30q^{4}-91q^{3}+30q^{2}-91q+30=0[/tex3]
teorema das raízes racionais
[tex3]q1=3[/tex3] ou [tex3]q2=\frac{1}{3}[/tex3]

para [tex3]q=3[/tex3]
temos que [tex3]a=4[/tex3]

para [tex3]q=\frac{1}{3}[/tex3]
temos que [tex3]a=324[/tex3]

[fabit]

Eu tava rascunhando uma solução e parei. Legal seu desenvolvimento até o momento de invocar o teorema (que teorema é esse?). Aí deu um salto enorme.

Outra observação: A PG é a mesma, escrita na ordem crescente e na decrescente, sendo duas respostas:
(4, 12, 36, 108, 324) e (324, 108, 36, 12, 4).

[hygorvv]

Teorema das raízes racionais, enunciado:
considerando o polinômio [tex3]p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_{1}x+a_{0}[/tex3], de grau [tex3]>0[/tex3], cujo coeficientes são todos inteiros, com [tex3]a_{0}\ne0[/tex3].Considere tambem um numero racional [tex3]\frac{p}{q}[/tex3](P E Z e q E Z), com [tex3]p[/tex3] e [tex3]q[/tex3] primos entre si. Se [tex3]\frac{p}{q}[/tex3] é raíz de [tex3]p(x[/tex3]), então p é divisor de [tex3]a_{0}[/tex3] e q é divisor de [tex3]a_{n}[/tex3].

se quiser, eu demonstro aqui
abraço

[hygorvv]

tem como resolver por equações recíprocas:
[tex3]30q^{4}-91q^{3}+30q^{2}-91q+30=0[/tex3]
dividindo tudo por [tex3]q^{2}[/tex3]
[tex3]30q^{2}-91q+30-\frac{91}{q}+\frac{30}{q^{2}}=0[/tex3]
[tex3]30(q^{2}+\frac{1}{q^{2}})-91(q+\frac{1}{q})+30=0[/tex3]

seja [tex3]y=(q+\frac{1}{q})[/tex3]
[tex3]y^{2}=(q+\frac{1}{q})^{2}[/tex3]
[tex3]y^{2}=q^{2}+2+\frac{1}{q^{2}}[/tex3]
[tex3]q^{2}+\frac{1}{q^{2}}=y^{2}-2[/tex3]

substituindo, vem:
[tex3]30(y^{2}-2)-91y+30=0[/tex3]
[tex3]30y^{2}-60-91y+30=0[/tex3]
[tex3]30y^{2}-91y-30=0[/tex3]
[tex3]\Delta=11881[/tex3]
[tex3]y'=\frac{10}{3}[/tex3]
[tex3]y''={-}\frac{3}{10}[/tex3]

[tex3]y=q+\frac{1}{q}[/tex3]
[tex3]\frac{10q}{3}=q^{2}+1[/tex3]
[tex3]3q^{2}-10q+3=0[/tex3]
[tex3]q'=3[/tex3]
[tex3]q''=\frac{1}{3}[/tex3]

[fabit]

Não precisa demonstrar não. Eu é que não tinha visto que você resolveu primeiro por "tentativas" baseadas no teorema.

Outra coisa, eu estava rascunhando uma solução conforme postei

Acho que é pra usar aquela transformação de polinômios simétricos. Eu vou ver se é isso mesmo e já posto, porque dá um certo trabalho...

E você fez o que eu estava fazendo mas não terminei. Só que o que chamei de simétricas você chamou de recíprocas:

(...)equações recíprocas:(...)

Obrigado.

[hygorvv]

tranquilo fera:}

grande abraço