IME / ITA ⇒ (AFA - 1994) Trigonometria Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A soma das raízes da equação [tex3]\sqrt{3}senx-cosx=1[/tex3], no intervalo [tex3]0 \leq x \leq 2\pi[/tex3], é:

a) [tex3]\frac{2\pi}{3}[/tex3].
b) [tex3]\frac{4\pi}{3}[/tex3].
c) [tex3]\frac{5\pi}{3}[/tex3].
d) [tex3]\frac{7\pi}{3}[/tex3].

Resposta

---

b

[hygorvv]

A soma das raízes da equação [tex3]\sqrt{3}\sen x -\cos x =1[/tex3], no intervalo [tex3]0 \leq x \leq 2\pi[/tex3], é:

a) [tex3]\frac{2\pi}{3}[/tex3].
b) [tex3]\frac{4\pi}{3}[/tex3].
c) [tex3]\frac{5\pi}{3}[/tex3].
d) [tex3]\frac{7\pi}{3}[/tex3].

Resposta

---

b

divide tudo por [tex3]2[/tex3]
[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sen x - \frac{1}{2}\cos x =\frac{1}{2}[/tex3]
note que temos uma diferença de arcos
[tex3]\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sen x - \frac{1}{2}\cos x =\sen x \cdot \cos 30-\sen 30\cdot \cos x =\sen (x-30)[/tex3]
[tex3]\sen (x-30)=\frac{1}{2}[/tex3]
mas, [tex3]\sen 30=\frac{1}{2}[/tex3]
entao
[tex3]\sen (x-30)=\sen 30[/tex3] (isso só ocorre no primeiro e segundo quadrante, quando o a funçao seno é positiva)
[tex3]x-30=30[/tex3]
[tex3]x=60^\circ[/tex3]
[tex3]x=\frac{\pi}{3}[/tex3]
note que no segundo quadrante, [tex3]x-30=150[/tex3]
entao, [tex3]x=180=\pi[/tex3]

somando
[tex3]\frac{\pi}{3}+\pi=\frac{4\pi}{3}[/tex3]

espero que compreenda

[mvgcsdf]

Um outro caminho para a resposta:
Reescrevendo a equação, teremos:
[tex3]1+\cos x =\sqrt{3}\sen x [/tex3]
Elevando ao quadrado, teremos:
[tex3]1+2\cos x +\cos ^{2}x=3\sen ^{2}x (1)[/tex3]
Lembrete: [tex3]\sen ^{2}x+\cos ^{2}x=1[/tex3].
Dessa relação vem que:
[tex3]\sen ^{2}x=1{-}\cos ^{2}x (2)[/tex3]
[tex3]1+2\cos x +\cos ^{2}x=3[1{-}\cos ^{2}x][/tex3]
[tex3]1+2\cos x +\cos ^{2}x=3{-}3\cos ^{2}x[/tex3]
[tex3]4\cos ^{2}x+2\cos x {-}2=0[/tex3]
[tex3]2\cos ^{2}x+\cos x {-}1=0[/tex3]
[tex3]\cos x =\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}[/tex3]
[tex3]\cos x ={-}1=\pi[/tex3]
Somando, teremos: [tex3]\pi+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}[/tex3]