Pré-Vestibular ⇒ (UnB - 2001) Probabilidade Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

Se duas bolas são retiradas ao acaso, sem reposição, de uma caixa contendo somente bolas pretas e vermelhas, a probabilidade de que sejam ambas vermelhas é [tex3]\frac{1}{3}.[/tex3] Recolocando essas bolas na caixa, se três bolas são retiradas ao acaso, também sem reposição, a probabilidade de que todas sejam vermelhas é [tex3]\frac{1}{6}.[/tex3] Nessas condições, calcule a quantidade de bolas que há nessa caixa.

Resposta:

---

[tex3]10[/tex3] bolas

[mawapa]

Olá Paulo!

A probabilidade é [tex3]P=\frac{x}{t},[/tex3] onde [tex3]x[/tex3] é a quantidade de bolas da cor que nós queremos tirar e [tex3]t[/tex3] é o total de bolas. Queremos achar [tex3]t.[/tex3]
logo:

• [tex3]\frac{1}{3} = \frac{x\cdot (x-1)}{t\cdot (t-1)}[/tex3]

e

• [tex3]\frac{1}{6} = \frac{x.(x-1).(x-2)}{t.(t-1).(t-2)}[/tex3]

Agora na segunda equação vamos isolar [tex3]\frac{x\cdot (x-1)}{t\cdot (t-1)}[/tex3] e substituir na primeira. Então fica:

• [tex3]\frac{(t-2)}{6\cdot (x-2)} = \frac{x\cdot (x-1)}{t\cdot (t-1)}[/tex3]

Substituindo na primeira equação fica:

• [tex3]\frac{(t-2)}{6\cdot (x-2)} = \frac{1}{3}[/tex3]

Isolando [tex3]x[/tex3] nessa equação temos:

• [tex3]x = \frac{t+2}{2}[/tex3]

Vamos substituir [tex3]x[/tex3] em alguma das equações, a primeira acho que fica mais fácil, assim:

• [tex3]t\cdot (t-1) = 3x\cdot (x-1)[/tex3]
  
  [tex3]t^2 - t = 3\cdot (\frac{t+2}{2})\cdot (\frac{t+2}{2} - 1)[/tex3]
  
  [tex3]t^2 - t = \frac{3\cdot t}{2}\cdot (\frac{t+2}{2})[/tex3]
  
  [tex3]t^2 - t = \frac{3\cdot t^2 + 6\cdot t}{4}[/tex3]
  
  [tex3]4\cdot t^2 - 4\cdot t - 3\cdot t^2 - 6\cdot t = 0[/tex3]
  
  [tex3]t\cdot (4\cdot t - 4 - 3\cdot t - 6) = 0[/tex3]
  
  [tex3]t\cdot (t - 10) = 0[/tex3]

Assim, temos que [tex3]t=0[/tex3] ou [tex3]t=10,[/tex3] então ficamos com [tex3]t = 10.[/tex3]

[paulo testoniMOD]

Hola Mawapa.

Excelente a sua resolução. Agradeço a sua ajuda.