Pré-Vestibular ⇒ (UFOP-2010) POLINÔMIOS

[jose carlos de almeida]

Considere o polinômio [tex3]p(x) = x^4 + a(x)^3 + k(x)^2 - 5x - 2[/tex3],onde a e k são constantes reais. Seja n o maior inteiro positivo tal que
p(x) seja divisível por [tex3](x + 1)^n[/tex3]. Os valores de k e n são respectivamente:
a) -3 e 2
b) -2 e 3
c) -2 e 2
d) -3 e 3

Gab.d

[hygorvv]

Considere o polinômio [tex3]p(x) = x^4 + a(x)^3 + k(x)^2 - 5x - 2[/tex3],onde a e k são constantes reais. Seja n o maior inteiro positivo tal que
p(x) seja divisível por [tex3](x + 1)^n[/tex3]. Os valores de k e n são respectivamente:
a) -3 e 2
b) -2 e 3
c) -2 e 2
d) -3 e 3

Gab.d

[tex3]{-}1[/tex3] raiz de multiplicidade [tex3]n[/tex3]
para tal, use o teorema do polinômio derivado
se [tex3]{-1}[/tex3] é raiz de multiplicidade [tex3]n[/tex3], o polinômio derivado possui raiz [tex3]{-1}[/tex3] de multiplicidade [tex3]n-1[/tex3]
[tex3]P(-1)=0[/tex3]
[tex3]1-a+k+5-2=0[/tex3]
[tex3]k-a=-4 \ (a)[/tex3]

o polinomio derivado será [tex3]P'(x)=4x^{3}+3ax^{2}+2kx-5[/tex3]
[tex3]P'(-1)=0[/tex3]
[tex3]{-}4+3a-2k-5=0[/tex3]
[tex3]{-}2k+3a=9 \ (b)[/tex3]

fazendo um sistema entre [tex3](a)[/tex3] e [tex3](b)[/tex3]
[tex3]\begin{cases}k-a=-4 \\ -2k+3a=9\end{cases}[/tex3]
resolvendo voce encontra [tex3]k=-3[/tex3] e [tex3]a=1[/tex3]
[tex3]P(x)=x^4 + x^3 -3x^2 - 5x - 2[/tex3]
[tex3]P'(x)=4x^{3}+3x^{2}-6x-5[/tex3] (-1 continua sendo raiz, entao o polinomio derivado possui raiz -1 de multiplicidade n-2)
[tex3]P''(x)=12x^{2}+6x-6[/tex3] (-1 continua sendo raiz, mas de multiplicidade 1)
logo, o polinômio pode ser escrito da seguinte forma
[tex3]P(x)=(x+1)^3.(x-2)[/tex3]
portanto, [tex3]n=3[/tex3]

ou se preferir, faz pelo algoritmo de briott ruffini.
Vai reduzindo o polinômio, dividindo sempre por [tex3]{-}1[/tex3]

espero que compreenda