Pré-Vestibular ⇒ (MACK) Módulo de um Número Real Tópico resolvido

[AmandaCGC]

O conjunto solução da inequação [tex3]\frac{1 - x^{2}}{1 - |x|} > 2x^{2}[/tex3] é:

a) [tex3]\left] -1, 0\right][/tex3]
b) [tex3]\left[ 0, 1 \right[[/tex3]
c) [tex3]\left] -1, 1 \right[[/tex3]
d) [tex3]R^+[/tex3]
e) [tex3]R^-[/tex3]

Resposta:

Resposta

---

Letra c.

[fabit]

Vou resolver supondo que o que está à direita é [tex3]2x^2[/tex3]

Restrição: [tex3]1-|x|\neq0\Leftrightarrow|x|\neq1\Leftrightarrow\boxed{x\neq\pm1}[/tex3].
(Opções "d" e "e" já dançaram)

Nos não negativos o módulo é retirado sem nada acontecer e a inequação vira [tex3]\frac{1-x^2}{1-x}>2x^2[/tex3] Isso é o mesmo que [tex3]1+x>2x^2[/tex3], que fica [tex3]2x^2-x-1<0[/tex3]. Logo [tex3](2x+1)(x-1)<0[/tex3]. Fora de contexto, essa quadrática pega desde o -0,5 aberto até o 1 aberto, mas o contexto é só dos não negativos e assim pegamos só do 0 fechado até o 1 aberto: [tex3]0\leq x<1[/tex3].

Nos negativos o módulo sai deixando um sinal de menos e a inequação vira [tex3]\frac{1-x^2}{1+x}>2x^2\Leftrightarrow1-x>2x^2\Leftrightarrow2x^2+x-1<0\Leftrightarrow(2x-1)(x+1)<0[/tex3], que daria do -1 aberto até 0,5 aberto fora de contexto, mas no contexto dos negativos vai só até 0 aberto: [tex3]{-1}<x<0[/tex3].

Unindo, temos [tex3]\left]-1,1\right[[/tex3] letra C

[AmandaCGC]

Opa, erro de digitação. Era [tex3]2x^2[/tex3] sim.

Muito obrigada.

[JonathanMelo]

Vou resolver supondo que o que está à direita é [tex3]2x^2[/tex3]

Restrição: [tex3]1-|x|\neq0\Leftrightarrow|x|\neq1\Leftrightarrow\boxed{x\neq\pm1}[/tex3].
(Opções "d" e "e" já dançaram)

Nos não negativos o módulo é retirado sem nada acontecer e a inequação vira [tex3]\frac{1-x^2}{1-x}>2x^2[/tex3] Isso é o mesmo que [tex3]1+x>2x^2[/tex3], que fica [tex3]2x^2-x-1<0[/tex3]. Logo [tex3](2x+1)(x-1)<0[/tex3]. Fora de contexto, essa quadrática pega desde o -0,5 aberto até o 1 aberto, mas o contexto é só dos não negativos e assim pegamos só do 0 fechado até o 1 aberto: [tex3]0\leq x<1[/tex3].

Nos negativos o módulo sai deixando um sinal de menos e a inequação vira [tex3]\frac{1-x^2}{1+x}>2x^2\Leftrightarrow1-x>2x^2\Leftrightarrow2x^2+x-1<0\Leftrightarrow(2x-1)(x+1)<0[/tex3], que daria do -1 aberto até 0,5 aberto fora de contexto, mas no contexto dos negativos vai só até 0 aberto: [tex3]{-1}<x<0[/tex3].

Unindo, temos [tex3]\left]-1,1\right[[/tex3] letra C

Fabit, não entendi o porque você considerou bolinha "fechada" para o zero.

[fabit]

Estou entendendo que a sua frase abaixo...

...você considerou bolinha "fechada" para o zero.

Se refere ao seguinte parágrafo:

Nos não negativos o módulo é retirado sem nada acontecer e a inequação vira [tex3]\frac{1-x^2}{1-x}>2x^2[/tex3] Isso é o mesmo que [tex3]1+x>2x^2[/tex3], que fica [tex3]2x^2-x-1<0[/tex3]. Logo [tex3](2x+1)(x-1)<0[/tex3]. Fora de contexto, essa quadrática pega desde o -0,5 aberto até o 1 aberto, mas o contexto é só dos não negativos e assim pegamos só do 0 fechado até o 1 aberto: [tex3]0\leq x<1[/tex3].

Mais especificamente, o trecho (com meu grifo)...

...mas o contexto é só dos não negativos e assim pegamos só do 0 fechado até...

Pois bem, a definição de módulo que utilizei é a clássica [tex3]|A|=\begin{cases}
A;\text{ se }A\geq0\text{, ou seja, se A eh naum negativo} \\
-A;\text{ se }A<0\text{, ou seja, se A eh negativo}
\end{cases}[/tex3].

Essa definição poderia ser assim:
[tex3]|A|=\begin{cases}
A;\text{ se }A>0\text{, ou seja, se A eh positivo} \\
-A;\text{ se }A\leq0\text{, ou seja, se A eh naum positivo}
\end{cases}[/tex3].

Ou ainda assim:
[tex3]|A|=\begin{cases}
A;\text{ se }A>0\text{, ou seja, se A eh positivo} \\
0; \text{ se }A=0\text{, ou seja, se A eh nulo} \\
-A;\text{ se }A<0\text{, ou seja, se A eh negativo}
\end{cases}[/tex3].

Na verdade, tanto faz. É irrelevante onde incluir o caso A=0. Se eu tivesse usado a segunda definição ou a terceira, o intervalo contextualizado do parágrafo que destaquei pegaria bolinha aberta no 0, pois o 0 estaria sendo tratado em outro contexto.

Fui claro?

[JonathanMelo]

Na verdade, tanto faz. É irrelevante onde incluir o caso A=0. Se eu tivesse usado a segunda definição ou a terceira, o intervalo contextualizado do parágrafo que destaquei pegaria bolinha aberta no 0, pois o 0 estaria sendo tratado em outro contexto.

Fui claro?

Foi claro sim! Que contexto você usou para considerar o zero? Muito Obrigado Fabit!

[fabit]

Eu disse o contexto aqui:

Pois bem, a definição de módulo que utilizei é a clássica [tex3]|A|=\begin{cases}
A;\text{ se }A\geq0\text{, ou seja, se A eh naum negativo} \\
-A;\text{ se }A<0\text{, ou seja, se A eh negativo}
\end{cases}[/tex3].

Então [tex3]|x|=x[/tex3] quando [tex3]x\geq0[/tex3].

[JonathanMelo]

Então [tex3]|x|=x[/tex3] quando [tex3]x\geq0[/tex3]

Muito Obrigado!

[FelipeMP]

Vou resolver supondo que o que está à direita é [tex3]2x^2[/tex3]

Restrição: [tex3]1-|x|\neq0\Leftrightarrow|x|\neq1\Leftrightarrow\boxed{x\neq\pm1}[/tex3].
(Opções "d" e "e" já dançaram)

Nos não negativos o módulo é retirado sem nada acontecer e a inequação vira [tex3]\frac{1-x^2}{1-x}>2x^2[/tex3] Isso é o mesmo que [tex3]1+x>2x^2[/tex3], que fica [tex3]2x^2-x-1<0[/tex3]. Logo [tex3](2x+1)(x-1)<0[/tex3]. Fora de contexto, essa quadrática pega desde o -0,5 aberto até o 1 aberto, mas o contexto é só dos não negativos e assim pegamos só do 0 fechado até o 1 aberto: [tex3]0\leq x<1[/tex3].

Nos negativos o módulo sai deixando um sinal de menos e a inequação vira [tex3]\frac{1-x^2}{1+x}>2x^2\Leftrightarrow1-x>2x^2\Leftrightarrow2x^2+x-1<0\Leftrightarrow(2x-1)(x+1)<0[/tex3], que daria do -1 aberto até 0,5 aberto fora de contexto, mas no contexto dos negativos vai só até 0 aberto: [tex3]{-1}<x<0[/tex3].

Unindo, temos [tex3]\left]-1,1\right[[/tex3] letra C

Boa noite,
não entendi essa passagem: [tex3]\frac{1-x^2}{1-x}>2x^2[/tex3] pra essa [tex3]1+x>2x^2[/tex3], e essa: [tex3]\frac{1-x^2}{1+x}>2x^2\Leftrightarrow1-x>2x^2[/tex3]

Se alguém puder explicar, ficarei grato.

[fabit]

Em ambas utiliza-se o caso de fatoração conhecido como "Diferença de Dois Quadrados": [tex3]a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex3], onde a=1 e b=x, pois [tex3]1^2-x^2=1-x^2=(1+x)(1-x)[/tex3]

Portanto, [tex3]\frac{1-x^2}{1+x}=\frac{\cancel{(1+x)}(1-x)}{\cancel{1+x}}=1-x[/tex3] e [tex3]\frac{1-x^2}{1-x}=\frac{(1+x)\cancel{(1-x)}}{\cancel{1-x}}=1+x[/tex3].