Pré-Vestibular ⇒ (UFOP - 2010) Matrizes e Determinantes

[jose carlos de almeida]

Sejam [tex3]a,\, b[/tex3] e [tex3]c[/tex3] as raízes da equação [tex3]\det(xI - A) = 0[/tex3] onde [tex3]x[/tex3] pertence aos reais, [tex3]I = \left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)[/tex3] e [tex3]A = \left(\begin{array}{ccc} 1&0&-7\\1&2&-1\\0&4&13\end{array}\right)[/tex3]
O valor de [tex3]\log_{\sqrt2}\left(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}\right)[/tex3] é:

a) 6
b) 4
c) 2
d) 8

Resposta

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a

[fabit]

Primeiro vou manipular o logaritmando, pois acho que vai recair num "Girardzinho":

[tex3]\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}=\frac{a+b+c}{abc}=\frac{S}{P}[/tex3] onde S é a soma e P é o produto das raízes.

Agora sim

[tex3]xI-A=\left(\begin{array}{ccc}x-1&0&7\\-1&x-2&1\\0&-4&x-13\end{array}\right)[/tex3]
[tex3]p(x)=det(xI-A)=(x-1)(x-2)(x-13)+28+4(x-1)=(x-1)(x^2-15x+26)+28+4x-4[/tex3]
[tex3]p(x)=x^3-15x^2+26x-x^2+15x-26+4x+24=x^3-16x^2+45x-2[/tex3]

Calculo S=16 e P=2. Logo S/P=8.

Finalmente, [tex3]\log_{\sqrt{2}}\(\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}+\frac{1}{ab}\)=\log_{2^{0,5}}\(2^3\)=\frac{3}{0,5}=6[/tex3]

Letra A