Pré-Vestibular ⇒ (UFPR) Geometria Plana Tópico resolvido

[Carina]

O perímetro de um triângulo retângulo é 60 cm e a altura relativa a hipotenusa é 12 cm. A área desse triângulo mede, em cm² :

a) 120
b) 140
c) 150
d) 160
e) 180

[Fantini]

Boa noite.

Sendo [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] os catetos e [tex3]c[/tex3] a hipotenusa, pelo enunciado temos os seguintes dados:

[tex3]a+b+c = 60[/tex3]

[tex3]\frac {ab}{2} = \frac {12c}{2}[/tex3]

Pelo teorema de Pitágoras, também temos: [tex3]a^2 + b^2 = c^2[/tex3].

Na primeira equação, vou reorganizar: [tex3]a +b = 60 -c[/tex3]. Elevando os dois membros ao quadrado: [tex3](a+b)^2 = (60-c)^2[/tex3]. Expandindo: [tex3]a^2 +2ab + b^2 = 3600 -120c + c^2[/tex3]. Só que [tex3]a^2 + b^2 = c^2[/tex3] e também temos que [tex3]ab = 12c[/tex3], portanto: [tex3]c^2 + 2 \cdot 12c = 3600 -120c + c^2[/tex3]. Cancelando [tex3]c^2[/tex3] e isolando [tex3]c[/tex3], encontramos que [tex3]c=25[/tex3]. Assim, [tex3]A_{\Delta ABC} = \frac {ch}{2} = \frac {25 \cdot 12}{2} = 150[/tex3].

Alternativa C.

Espero ter ajudado.

[Carina]

So não entendi porque: [tex3]\frac{ab}{2}=\frac{12c}{2}[/tex3]

[Fantini]

Posso adotar a base e altura do triângulo retângulo como os catetos, já que são perpendiculares, mas também posso adotar como a altura relativa a hipotenusa e a hipotenusa, e a área será a mesma.

[Carina]

Agora consegui entender

Valew Fantini