IME / ITA ⇒ (AFA - 2000) Geometria Analítica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A reta [tex3]s: {-}x+4[/tex3] intercepta a circunferência [tex3]C: x^2+y^2+2x-4y-4=0[/tex3] nos pontos [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] . Se [tex3]O[/tex3] é o centro de [tex3]C[/tex3] , então a área do triângulo OPQ , em unidades de área, é

a) [tex3]4[/tex3].
b) [tex3]5[/tex3].
c) [tex3]4,5[/tex3].
d) [tex3]5,5[/tex3].

[hygorvv]

A reta [tex3]s: {-}x+4[/tex3] intercepta a circunferência [tex3]C: x^2+y^2+2x-4y-4=0[/tex3] nos pontos [tex3]P[/tex3] e [tex3]Q[/tex3] . Se [tex3]O[/tex3] é o centro de [tex3]C[/tex3] , então a área do triângulo OPQ , em unidades de área, é

a) [tex3]4[/tex3].
b) [tex3]5[/tex3].
c) [tex3]4,5[/tex3].
d) [tex3]5,5[/tex3].

[tex3]y=-x+4[/tex3]
substituindo na equação da circunferencia, temos
[tex3]x^{2}+(-x+4)^{2}+2x-4(-x+4)-4=0[/tex3]
[tex3]x^{2}+(16-8x+x^{2})+2x+4x-16 - 4=0[/tex3]
[tex3]2x^{2}-2x - 4=0[/tex3]
[tex3]x'=-1[/tex3]
[tex3]x''=2[/tex3]

ou seja, a reta s corta a circunferencia nos pontos [tex3](-1;5)[/tex3] e [tex3](2;2)[/tex3]

o centro da circunferencia O
seja a equação geral da circunferencia
[tex3](x-a)^{2} + (y-b)^{2}=r^{2}[/tex3]
onde a e b são as coordenadas do centro
temos, agrupando a equação expandida:
[tex3]x^2+y^2+2x-4y-4=0[/tex3]
[tex3](x^{2}+2x+1)+(y^{2}-4y+4)-9=0[/tex3]
[tex3](x+1)^{2}+(y-2)^{2}=3^{2}[/tex3]
logo, o centro [tex3]O(-1;2)[/tex3]

a área do triangulo OPQ é dado por
[tex3]S=\frac{|Det|}{2}[/tex3]
onde [tex3]|Det|[/tex3] é o módulo do determinante dos 3 pontos
[tex3]|Det|=9[/tex3]
[tex3]S=\frac{9}{2}[/tex3]
[tex3]S=4,5[/tex3] u.a

espero que seja isso