IME / ITA ⇒ (AFA - 2000) Geometria Analítica

[ALDRINMOD]

A circunferência [tex3]x^2+y^2=5[/tex3] possui duas retas tangentes [tex3]t_1[/tex3] e [tex3]t_2[/tex3] que são paralelas à reta [tex3]\text{r: } y=-2x+3[/tex3]. As equações gerais da retas [tex3]t_1[/tex3] e [tex3]t_2[/tex3], respectivamente, são

a) [tex3]2x+y-5=0[/tex3] e [tex3]2x+y+5=0[/tex3].
b) [tex3]2x+y-15=0[/tex3] e [tex3]2x+y+15=0[/tex3].
c) [tex3]2x+y-5\sqrt5=0[/tex3] e [tex3]2x+y+5\sqrt5=0[/tex3].
d) [tex3]2x+y-\frac{4\sqrt5}{5}=0[/tex3] e [tex3]2x+y+\frac{4\sqrt5}{5}=0[/tex3].

[hygorvv]

A circunferência [tex3]x^2+y^2=5[/tex3] possui duas retas tangentes [tex3]t_1[/tex3] e [tex3]t_2[/tex3] que são paralelas à reta [tex3]\text{r: } y=-2x+3[/tex3]. As equações gerais da retas [tex3]t_1[/tex3] e [tex3]t_2[/tex3], respectivamente, são

a) [tex3]2x+y-5=0[/tex3] e [tex3]2x+y+5=0[/tex3].
b) [tex3]2x+y-15=0[/tex3] e [tex3]2x+y+15=0[/tex3].
c) [tex3]2x+y-5\sqrt5=0[/tex3] e [tex3]2x+y+5\sqrt5=0[/tex3].
d) [tex3]2x+y-\frac{4\sqrt5}{5}=0[/tex3] e [tex3]2x+y+\frac{4\sqrt5}{5}=0[/tex3].

note que as retas [tex3]t_1[/tex3] e [tex3]t_2[/tex3] tem o mesmo coeficiente angular da reta r
ou seja
[tex3]m_1=m_2=m_s=-2[/tex3]
logo, as equaçoes das retas são da seguinte forma
[tex3]t_1[/tex3]
[tex3]y=ax+b[/tex3]
[tex3]y=-2x+b[/tex3]

[tex3]t_2[/tex3]
[tex3]y'=ax+c[/tex3]
[tex3]y'=-2x+c[/tex3]

substituindo na equação da circunferencia a reta [tex3]t_1[/tex3]
[tex3]x^{2}+(-2x+b)^{2}=5[/tex3]
[tex3]x^{2}+4x^{2}-4.b.x+b^{2}=5[/tex3]
[tex3]5x^{2}-4.b.x+b^{2}-5=0[/tex3]
[tex3]\Delta=0[/tex3] ( tangente)
[tex3]16b^{2}-4.5.(b^{2}-5)=0[/tex3]
[tex3]16b^{2}-20(b^{2}-5)=0[/tex3]
[tex3]16b^{2}-20b^{2}+100=0[/tex3]
[tex3]{-}4b^{2}=-100[/tex3]
[tex3]b^{2}=25[/tex3]
[tex3]b=+-5[/tex3]
ou seja
[tex3]t_1:y=-2x+-5[/tex3]

substituindo agora [tex3]t_2[/tex3] na equaçao da circunferencia
[tex3]x^{2}+(-2x+c)^{2}=5[/tex3]
...
[tex3]c=+-5[/tex3]
[tex3]t_2:y'=-2x+-5[/tex3]

note que nao podemos ter duas retas iguais, entao, supondo [tex3]t_1: y=-2x+5[/tex3], temos que [tex3]t_2:y'=-2x-5[/tex3]


espero que seja isso