IME / ITA ⇒ (ITA - 1988) Geometria Plana: Polígonos Regulares Tópico resolvido

[bruninha]

Considere as cincunferências inscrita e circunscrita a um triângulo equilátero de lado [tex3]L[/tex3]. A área da coroa circular formada por essas circuferências é dada por:

a) [tex3]\frac{\pi}{4}L^2[/tex3]

b) [tex3]\frac{\sqrt{6}}{2}\pi L^2[/tex3]

c) [tex3]\frac{\sqrt{3}}{3}\pi L^2[/tex3]

d) [tex3]\sqrt{3}\pi L^2[/tex3]

e) [tex3]\frac{\pi}{2} L^2[/tex3]

[Auto Excluído (ID:276)]

oi

uma circunferência circunscrita a um triângulo, é mesma coisa que dizermos um triângulo inscrito numa circunferência. Circunferência inscrita num triângulo, é mesma coisa que dizermos um triângulo circunscrito a uma circunferência. Então, temos um triângulo equilátero inscrito e ao mesmo tempo, circuncrito.

O lado de um triângulo equilátero inscrito é dado por : [tex3]y\sqrt{3}[/tex3] onde ''y'' é o raio da circunferência. O lado de um triângulo equilátero circunscrito é dado por : [tex3]2x\sqrt{3}[/tex3] onde ''x'' é o raio da circunferência.

Já que o triângulo é o mesmo, temos que [tex3]2x\sqrt{3} = y\sqrt{3}[/tex3] -> [tex3]2x = y[/tex3] . Ou seja, o raio da circunferência externa é o dobro do raio da circunferência interna ( inscrita no triângulo ).

Jogando tudo para um membro da igualdade, descobrimos que ''x'' é igual a [tex3]\frac{l \sqrt{3}}{6}[/tex3] ( onde ''l'' é o lado do triângulo )

agora é só montar.... [tex3]\pi[(\frac{l \sqrt{3}}{3})^2 - (\frac{l \sqrt{3}}{6})^2][/tex3] -> [tex3]\frac{\pi l^2}{4}[/tex3]

flw fui!

[Karl Weierstrass]

Grande Pedro.

[tex3]\hspace{120pt}[/tex3]

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[tex3]\hspace{70pt}\text{sen}\,60^{\circ}\,=\,\frac{\ell/2}{R}\,\Longrightarrow\,R\,=\,\frac{\ell}{\sqrt{3}}.[/tex3]

[tex3]\hspace{70pt}\cos\,60^{\circ}\,=\,\frac{r}{R}\,\Longrightarrow\,r\,=\,\frac{R}{2}.[/tex3]


Portanto, se [tex3]S[/tex3] é a área da coroa, temos

[tex3]\hspace{70pt}S\,=\,\pi\,\cdot\,(R^2\,-\,r^2)\,=\,\pi\,\cdot\,\left(R^2\,-\,\frac{R^2}{4}\right)\,=\,\frac{3\pi }{4}\,\cdot\,R^2\,=\,\frac{3\pi }{4}\,\cdot\,\frac{\ell^2}{3}\, =\,\frac{\pi\ell^2}{4}.[/tex3]