Pré-Vestibular ⇒ (UFOP) Matriz e Determinante

[AmandaCGC]

A matriz A, dada a seguir, é igual à oposta da sua transposta, ou seja, [tex3]A = - A^{t}[/tex3]

[tex3]A = \left| \begin{array}{rcr}
x & y & z\\
1 & x & w\\
2 & 0 & x
\end{array} \right|[/tex3]

Seu deteminante vale:

a) 3
b) 2
c) 1
d) 0

Resposta:

Resposta

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Letra A.

[fabit]

Primeira linha (x,y,z) é oposta da primeira coluna (x,1,2), logo x=0 (oposto de si mesmo), y=-1 e z=-2.

Terceira coluna (-2,w,0) é oposta da terceira linha (2,0,0), logo w=0.

Olha a matriz toda aí:
[tex3]\left[\begin{array}{ccc}0&-1&-2\\1&0&0\\2&0&0\end{array}\right][/tex3]

O determinante é 0+0+0-0-0-0=0

Letra D

[VSobral]

Outra forma de fazer:
Sabemos que [tex3]det A = det A^{t}[/tex3] [tex3](1)[/tex3]
[tex3]det (-A) = (-1)^{n}det A[/tex3] em que n representa o número de linhas e colunas da matriz quadrada.
Substituindo n por 3
[tex3]det (-A) = -det A[/tex3] [tex3](2)[/tex3]
Se [tex3]A = -A^t[/tex3], [tex3]det A = det (-A^t)[/tex3]
de [tex3](1)[/tex3] temos que: [tex3]det A = det (-A)[/tex3], e de [tex3](2)[/tex3] temos que [tex3]det A = -det A[/tex3].
Ora, para um número ser igual ao seu oposto só existe uma possibilidade! Este número é zero. Eu prefiro essa forma por poder generalizar. Assim, dada qualquer matriz [tex3]A = -A^t[/tex3], seu determinante será zero.
Obs.: as barras são determinantes
Obs2: seu gabarito está errado... procurei a prova no site da UFOP e o correto é D

[AmandaCGC]

Obrigada pela resolução e por corrigir o gabarito. Do jeito que estava eu não conseguia resolver isso de jeito nenhum .-.