IME / ITA ⇒ (ITA - 1971) Função Composta Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

Se [tex3]f[/tex3] é uma função real de variável real dada por [tex3]f(x) = x^2 ,[/tex3] então [tex3]f(x^2 + y^2)[/tex3] é igual a:

a) [tex3]f(f(x)) + f(y) + 2f(x)f(y)[/tex3] para todo [tex3]x[/tex3] e [tex3]y.[/tex3]
b) [tex3]f(x^2) + 2f(f(x)) + f(x)f(y)[/tex3] para todo [tex3]x[/tex3] e [tex3]y.[/tex3]
c) [tex3]f(x^2) + f(y^2) + f(x)f(y)[/tex3] para todo [tex3]x[/tex3] e [tex3]y.[/tex3]
d) [tex3]f(f(x)) + f(f(y)) + 2f(x)f(y)[/tex3] para todo [tex3]x[/tex3] e [tex3]y.[/tex3]
e) [tex3]f(f(x)) + 2f(y^2) + 2f(x)f(y)[/tex3] para todo [tex3]x[/tex3] e [tex3]y.[/tex3]

[Alexandre_SC]

• [tex3]f(x)=x^2[/tex3]
  
  [tex3]f(y)=y^2[/tex3]
  
  [tex3]f(x^2+y^2) = (x^2+y^2) = f(f(x)+f(y)) = (f(x)+f(y))^2[/tex3]

• [tex3](a+b)(c+d) = a(c+d)+b(c+d) = ac+ad+bc+bd[/tex3]

Analogamente:

• [tex3]\begin{array}{rl}
  (f(x)+f(y))^2 &= [f(x)+f(y)][(f(x)+f(y)] \\
  &= f(x)\cdot(f(x)+f(y))+f(y)\cdot(f(x)+f(y)) \\
  &= f(x)f(x)+f(x)f(y)+f(y)f(x)+f(y)f(y) \\
  &= (f(x))^2 +2f(x)f(y)+(f(y))^2 \\
  &= f(f(x))+f(f(y))+2f(x)f(y)
  \end{array}[/tex3]

Se quisesse ainda poderia usar:

• [tex3]f(f(x))+f(f(y))+2f(x\cdot y)[/tex3]