Pré-Vestibular ⇒ (UPE) Geometria Plana - Figuras Inscritas

[poti]

Os lados paralelos de um trapézio são lados de um triângulo eqüilátero e de um hexágono regular inscritos em um mesmo círculo de 8 cm de diâmetro. Pode-se afirmar que a área do trapézio, em cm2, é igual a

Resposta:

---

8

Pelo enunciado consegui formar 2 trapézios mas não acho que estou fazendo certo pois deu absurdamente maior o resultado.

[fabit]

O lado do triângulo é [tex3]R\sqrt{3}[/tex3] e do hexágono é [tex3]R[/tex3]. As distâncias do centro aos pontos médios dos lados (apótemas) são [tex3]\frac{R}{2}[/tex3] para o triângulo e [tex3]\frac{R\sqrt{3}}{2}[/tex3] para o hexágono.

Realmente há duas possibilidades de áreas distintas. Em ambas, a base média fica em [tex3]R.\frac{\sqrt{3}+1}{2}[/tex3]. A altura, que é o que as distingue, é resumida por [tex3]R.\frac{\sqrt{3}\pm1}{2}[/tex3] (somo os apótemas para o caso em que o centro fica interior ao trapézio e subtraio no caso em que o centro fica exterior).

[tex3]S=B_m\times h[/tex3]
[tex3]S=\cancel{8}^4.\frac{\sqrt{3}+1}{\cancel{2}_1}\times\cancel{8}^4\frac{\sqrt{3}\pm1}{\cancel{2}_1}[/tex3]
[tex3]S=16(3\pm\sqrt{3}+\sqrt{3}\pm1)[/tex3]

[tex3]S_1=16(4+2\sqrt{3})>100[/tex3]
[tex3]S_2=16.2=\boxed{32\mathrm{cm}^2}[/tex3]

Vê direitinho isso aí...

[poti]

Essa questão apresenta cinco alternativas, sendo que 8 além de ser o gabarito é também a maior de todas. Acho que nosso desenho deve estar errado.

PS: Minha apostila parece não estar errada pois achei o ex. identico no Google - Link: http://www.colegiomotivo.com.br/arquivo ... t12006.doc

[fabit]

Vixi! É mesmo.

8cm é o diâmetro!!!!!!!!!!!!!!

Logo o raio é 4cm.

Ao trocar 8 por 4 na minha solução, o 32 vira 8.

Porém a outra possibilidade (que daria [tex3]8(2+\sqrt{3})\mathrm{cm}^2[/tex3]) permanece, a não ser que o enunciado proíba (o que pode ser feito por meio da figura, se nela o centro estiver indicado claramente como exterior ao trapézio).

[poti]

Saquei agora, estava quase certo, valeu pela ajuda