IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1998) Polígonos Tópico resolvido

[marcelostick]

Quando uma pessoa caminha em linha reta uma distância x , ela gira para a esquerda de um ângulo de 60º; e
quando caminha em linha reta um distância [tex3]y=x\sqrt{2-\sqrt{2}}[/tex3] , ela gira para a esquerda de um ângulo de 45º.
Caminhando x ou y a partir de um ponto P , pode-se afirmar , para qualquer que seja o valor de x , é possível chegar
ao ponto P descrevendo um :

I . Pentágono convexo
II . Hexágono convexo
III . Heptágono convexo
IV . Octógono convexo
O número de assertivas verdadeiras é:
(A) 0 (B) 3 (C) 1 (D) 4 (E) 2

Gabarito :

Resposta

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Letra B , 3 assertativas verdadeiras .

[Marcos]

Olá, marcelostick.Observe a solução:

(Colégio Naval - 1998) Polígonos.gif (2.36 KiB) Exibido 688 vezes

A figura a ser formada consiste de um polígono com ãngulos externos [tex3]45^o[/tex3] e [tex3]60^o[/tex3].Os ângulos internos adjacentes serão [tex3]180^o - 45^o=135^o[/tex3] e [tex3]180^o - 60^o=120^o[/tex3].
Seja [tex3]''n''[/tex3] o número de lados do polígono e [tex3]''z''[/tex3], o número de lados que resultarão em ãngulos internos de [tex3]120^o[/tex3].O número de lados que resultarão em ângulos de [tex3]135^o[/tex3] serão então [tex3]''(n-z)''[/tex3].

Temos:

[tex3]S= 180^o.(n-2)=120^o.z+(n-z).135^o[/tex3]
[tex3]S= 180^o.n-360^o=120^o.z+135^o.n-135^o.z[/tex3]
[tex3]S= 45^o.n+15^o.z=360^o[/tex3] [tex3]\rightarrow[/tex3] [tex3]\boxed{S=3n+z=24}[/tex3]

Como [tex3]3n[/tex3] e [tex3]24[/tex3] são mútiplos de [tex3]3[/tex3],[tex3]z[/tex3] deverá ser também mútiplo de [tex3]3[/tex3].

Assim:

para [tex3]\cancel{z=0}[/tex3], [tex3]n=8[/tex3];
para [tex3]z=3[/tex3], [tex3]\boxed{n=7 }[/tex3];
para [tex3]z=6[/tex3], [tex3]\boxed{n=6 }[/tex3] e
para [tex3]z=9[/tex3], [tex3]\boxed{n=5 }[/tex3]

Portanto, o número de assertativas verdadeiras são [tex3]{\boxed{\boxed{3}}}[/tex3]. [tex3]\Longrightarrow[/tex3] [tex3]Letra: (B)[/tex3].

Resposta: [tex3]B[/tex3].