IME / ITA ⇒ (ITA 2002) Geometria Plana

[poti]

(Ita 2002) O triângulo ABC, inscrito numa circunferência, tem um lado medindo 20/Pi cm, cujo ângulo oposto é de 15°. O comprimento da circunferência, em cm, é

Resposta

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Gabarito Oficial: [tex3]20\sqrt{2}(1+\sqrt{3})[/tex3]
Minha Resposta: [tex3]40\sqrt{2+\sqrt{3}}[/tex3]

Por lei dos senos eu consigo chegar no gabarito oficial, mas quando uso lei dos cossenos empaco no resultado de cima (que deve ser a mesma coisa, mas não consigo racionalizar).

[adrianotavares]

Olá, poti.

Vamos transformar esse radical duplo em uma soma de radicais simples.

[tex3]\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2} }+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}[/tex3]

[tex3]\sqrt{\frac{2+\sqrt{4-3}}{2}}+\sqrt{\frac{2-\sqrt{4-3}}{2}}=\sqrt{\frac{3}{2}}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}.\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

[tex3]40(\sqrt{2+\sqrt{3}})=40(\frac{\sqrt{2}.\sqrt{3}+\sqrt{2}}{2})=20\sqrt{2}(1+\sqrt{3})[/tex3]

[poti]

Nunca tinha ouvido falar de transformação de radical duplo. Vou dar uma estudada nisso, obrigado por esclarecer (e cai entre nós, ex. bem sacana, pois achei mais resultados ainda diferentes do oficial).