IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 1999) Geometria Analítica Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A reta [tex3]S[/tex3] passa pelo ponto [tex3](3,0)[/tex3] e é normal ao gráfico [tex3]f(x)=x^2[/tex3] no ponto [tex3]P(X,Y)[/tex3]. As coordenadas [tex3]x[/tex3] e [tex3]y[/tex3] de [tex3]P[/tex3], são, respectivamente

a) [tex3]2[/tex3] e [tex3]4[/tex3].
b) [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] e [tex3]\frac{1}{4}[/tex3].
c) [tex3]1[/tex3] e [tex3]1[/tex3].
d) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] e [tex3]\frac{1}{9}[/tex3].
e) [tex3]\frac{5}{2}[/tex3] e [tex3]\frac{25}{4}[/tex3].

[fabit]

Derivando f, ficamos com [tex3]f'(x)=2x[/tex3]

Portanto, no ponto do gráfico de coordenadas [tex3](X,X^2)[/tex3] a reta normal tem equação [tex3]y-X^2=\frac{-1}{2X}(x-X)[/tex3].

Substituindo (3,0) e simplificando, fica [tex3]X^2=\frac{3-X}{2X}[/tex3], ou seja, [tex3]2X^3+X-3=0[/tex3]

Sorte que 1 é raiz, pois a soma dos coeficientes é zero.

Apesar de já poder marcar letra C, vou fatorar pra ver se a questão anula:
[tex3]2X^3+X-3=X-1+2X^3-2=X-1+2(X^3-1)=X-1+2(X-1)(X^2+X+1)=...[/tex3]
[tex3]...=(X-1)(1+2(X^2+X+1))=(X-1)(2X^2+2X+3)[/tex3]

A equação [tex3]2X^2+2X+3=0[/tex3] possui discriminante [tex3]\Delta=2^2-4.2.3<0[/tex3] e portanto não possui zeros reais.

Letra C