Pré-Vestibular ⇒ (UFPB - 1978) Polinômio Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

A relação que existe entre [tex3]p[/tex3], [tex3]q[/tex3] e [tex3]r[/tex3], para que o polinômio [tex3]x^3+px^2+qx+r[/tex3] seja um cubo de um binômio da forma [tex3]x+a[/tex3], é:

A) [tex3]\frac{p^6}{729}=\frac{q^3}{27}=r^2[/tex3].
B) [tex3]\frac{p^3}{729}=\frac{q^6}{27}=r^2[/tex3].
C) [tex3]\frac{p^6}{729}=\frac{q^2}{27}=r^3[/tex3].
D) [tex3]\frac{p^6}{729}=q^2=\frac{r^3}{27}[/tex3].
E) nenhuma das respostas.

[Natan]

Olá Aldrin!

A questão pede os valores de [tex3]p,\, q\,[/tex3] e [tex3]r[/tex3] de modo que:

[tex3](x+a)^3=x^3+px^2+qx+r \\ x^3+3ax^2+3a^2x+a^3=x^3+px^2+qx+r[/tex3]

igualando os termos de mesma parte literal:

[tex3]3a=p\, \rightarrow\, a=\frac{p}{3} \\ 3a^2=q \rightarrow a=\sqrt{\frac{q}{3}} \\ a^3=r \rightarrow a=\sqrt[3]{r}[/tex3] donde chegamos em:

[tex3]\frac{p}{3}=\sqrt{\frac{q}{3}}=\sqrt[3]{r}[/tex3] elevando todos os lados a sexta potência:
[tex3]\frac{p^6}{729}=\frac{q^3}{27}=r^2[/tex3]

Letra [tex3]\boxed{a}[/tex3]