IME / ITA ⇒ (Escola Naval 1982) - Números Complexos

[mvgcsdf]

Seja [tex3]Z[/tex3] um número complexo. Calcule [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3], sabendo-se que [tex3]\mid Z{-}2 \mid = \mid Z + 1 \mid[/tex3] se e só se [tex3]Az + B\bar{z} = 1[/tex3].

[fabit]

Vou listar duas verdades que permitem interpretar a primeira equação de uma forma muito tranquila:
1) a expressão [tex3]|z-z_0|[/tex3] significa a distância de [tex3]z[/tex3] até [tex3]z_0[/tex3].
2) em um plano, o lugar geométrico dos pontos que equidistam dos extremos de um segmento de reta é a mediatriz desse segmento.

Decorre de 1 e 2 que os complexos Z que satisfazem a primeira equação estão com seus afixos sobre a mediatriz do segmento que une 2+0i a -1+0i, ou seja, é a reta vertical [tex3]\Re{z}=\frac{1}{2}[/tex3].

Um complexo típico representativo é escrito como [tex3]z=\frac{1}{2}+yi,y\in\mathbb{R}[/tex3].

Vou substituir na segunda: [tex3]A(\frac{1}{2}+yi)+B(\frac{1}{2}-yi)=1[/tex3].

Antes de prosseguir, observo que o enunciado não falou que A e B são reais. Vou fazer supondo isso, mas a rigor o certo seria A=m+ni e B=p+qi com m,n,p,q reais e aí teríamos múltiplas soluções.

[tex3]\frac{A+B}{2}+(A-B)yi=1+0i\Rightarrow\begin{cases}A+B=2\\A-B=0\end{cases}[/tex3]

Logo [tex3]A=B=1[/tex3]