Ensino Superior ⇒ Pontos de máximo e mínimo Tópico resolvido

[matbatrobin]

Encontre todos os pontos de máximo e mínimo.

[tex3]f(x,y)=x^4+y^4+4xy[/tex3]

[Nesaxtoie]

Olá Matbatrobin. Como prometido, tentarei resolver.
Nesta questão usaremos o Teste da Segunda Derivada.

[tex3]z=f(x,y)=x^4+y^4+4xy[/tex3]

Vamos inicialmente calcular as derivadas parciais para encontrar os pontos críticos:

[tex3]f_x=4x^3+4y[/tex3]
[tex3]f_y=4y^3+4x[/tex3]

Igualando as derivadas parciais a zero, obtemos as equações

[1] [tex3]y=-x^3[/tex3]
[2] [tex3]x+y^3=0[/tex3]

Para resolvê-las, substituímos [tex3]y=-x^3[/tex3] da primeira equação na segunda. Temos então

[tex3]0=x-x^9=x(1-x^8)=x(1+x^4)(1-x^4)=x(1+x^2)(1+x^4)(1-x^2) =x(1+x^2)(1+x^4)(1+x)(1-x)[/tex3].

Existem, portanto, três raízes reais: [tex3]x=0,-1,1[/tex3]. Aplicando esses valores na primeira equação([1]), encontramos três pontos críticos: [tex3](0,0),(-1,1)[/tex3] e [tex3](1,-1)[/tex3]. Temos ainda que

[tex3]f(0,0)=0[/tex3] e [tex3]f(-1,1)=-2=f(1,-1)[/tex3].

Agora vamos calcular as segundas derivadas parciais e [tex3]D(x,y)[/tex3]:

[tex3]f_{xx}=12x^2[/tex3] [tex3]f_{yy}=12y^2[/tex3] [tex3]f_{xy}=4[/tex3]
[tex3]D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2=12x^2.12y^2-(4)^2=144x^2y^2-16[/tex3]

Como [tex3]D(0,0)=-16\lt 0\Rightarrow[/tex3] [tex3](0,0)[/tex3] é um ponto de sela de [tex3]f[/tex3], isto é, [tex3]f(0,0)=0[/tex3] não é mínimo nem máximo de [tex3]f[/tex3].
Como [tex3]D(-1,1)=D(1,-1)=128\gt 0[/tex3] e ainda [tex3]f_{xx}(-1,1)=f_{xx}(1,-1)=12\gt 0\Rightarrow[/tex3] [tex3]f(-1,1)=f(1,-1)=-2[/tex3] é um mínimo local.

Resposta: A função [tex3]f[/tex3] admite um mínimo em [tex3]z=-2[/tex3] e um ponto de sela em [tex3]z=0[/tex3].