Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - SP) Pirâmides

[murilonves]

Considere uma caixa sem tampa com a forma de um paralelepípedo reto de [tex3]8 m[/tex3] de altura e base quadrada de [tex3]6 m[/tex3] de lado. Apoiada na base, encontra-se um pirâmide sólida reta de [tex3]8 m[/tex3] de altura e base quadrada de [tex3]6 m[/tex3] de lado. O espaço interior à caixa e exterior à pirâmide é preenchido com água, até uma altura h, a partir da base (h [tex3]\leq[/tex3]. Determine o volume da água para um valor arbitrârio de [tex3]h[/tex3].

[fabit]

x será o volume do prisma de altura h descontado do volume do tronco de pirâmide de altura h.

O volume do prisma é 36h e pronto.

O do tronco de pirâmide sairá por semelhança de sólidos:
[tex3]\(\frac{8-h}{8}\)^3=\frac{V-v}{V}[/tex3], onde [tex3]v[/tex3] é o que queremos achar agora e [tex3]V=\frac{1}{3}.6^2.8[/tex3] é o volume da pirâmide de altura 8.

[tex3]V=\frac{8.36}{3}=8.12=96\Rightarrow\frac{96(8-h)^3}{8^3}=96-v\Rightarrow v=96\[1-\frac{(8-h)^3}{8^3}\][/tex3]

Como já dissemos antes, x=36h-v, e portanto

[tex3]x=36h-\frac{96(512-(8-h)^3)}{512}=36h-\frac{3(\cancel{512}-\cancel{512}+192h-24h^2+h^3)}{16}[/tex3]

[tex3]x=\frac{-3h^3+72h^2-\cancel{576h}+\cancel{16.36h}}{16}[/tex3]

[tex3]\boxed{x=\frac{3h^2}{16}\(24-h\)}[/tex3]