IME / ITA ⇒ (Simulado IME) Geometria Plana

[poti]

Num triângulo [tex3]ABC[/tex3], os lados [tex3]a,b, c[/tex3] são números inteiros e consecutivos e [tex3]<BCA = 2<BAC[/tex3]. Determine seu perímetro.

PS:

Resposta

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Eu achei o valor 15, mas acho que está errado. Não tenho gabarito oficial. Usei [tex3]x, x+1, x+2[/tex3] para lados e [tex3]z, 2z[/tex3] para ângulos. Achei [tex3]cos(z)[/tex3] em função de [tex3]x[/tex3] usando lei dos cossenos. Depois fazendo lei dos senos achei uma relação trigonométrica em que pude transformar [tex3]sen(z)[/tex3] em [tex3]cos(z)[/tex3] em função de [tex3]x[/tex3] de novo. Igualei os dois valores achados para [tex3]cos(z)[/tex3] e como raízes da equação achei [tex3]+4[/tex3] e [tex3]{-} 1[/tex3]. Se alguém puder me corrigir agradeço.

[adrianotavares]

Olá, Poti.

Triângulo ABC - Perímetro.GIF (2.41 KiB) Exibido 691 vezes

Usando a lei dos senos temos:

[tex3]\frac{x-1}{sen\alpha}=\frac{x+1}{sen2\alpha}=\frac{x}{sen(180-3\alpha)}[/tex3]

[tex3]\frac{x-1}{sen\alpha}=\frac{x+1}{2sen\alpha.cos\alpha}=\frac{x}{sen3\alpha}[/tex3]

[tex3]cos\alpha=\frac{x+1}{2(x-1)}[/tex3]

Aplicando o teorema dos cossenos temos:

[tex3](x-1)^2=(x+1)^2+x^2-2.x(x+1).\frac{(x+1)}{2(x-1)}[/tex3]

[tex3]x^2-2x+1=x^2+2x+1+x^2-\frac{x(x+1)^2}{(x-1)}[/tex3]

[tex3]\frac{x.(x+1)^2}{(x-1)}=x^2+4x \Rightarrow \frac{x.(x+1)^2}{x-1}=x.(x+4)[/tex3]

[tex3](x+1)^2=(x+4).(x-1) \Rightarrow x^2+2x+1=x^2-x+4x-4 \Rightarrow x=5[/tex3]

O perímetro do triângulo é:

[tex3]P=(x-1)+x+(x+1) \Rightarrow P=3x \Rightarrow P=3.5 \Rightarrow P=15[/tex3]

[marcelostick]

Adriano , como você pode afirmar que o maior lado não está oposto ao 180 - 3a ?

[poti]

Adriano , como você pode afirmar que o maior lado não está oposto ao 180 - 3a ?

Eu estava revendo hoje o problema e pensei nisso tb. Fiz considerando menor igual o Adriano.