IME / ITA ⇒ (Escola Naval 1973) - Trigonometria

[mvgcsdf]

O valor de [tex3]\cossec10^\circ -\sqrt{3}\sec10^\circ[/tex3] é

[tex3](A) 1[/tex3]
[tex3](B) 2[/tex3]
[tex3](C) 3[/tex3]
[tex3](D) 4[/tex3]
[tex3](E) 5[/tex3]

[poti]

Primeira parte:

[tex3]\cos (2x) = \cos^2x - \sen^2x[/tex3]

[tex3]\cos 20 = \cos^210 - \sen^210[/tex3]


Segunda parte:

[tex3]\cos(3x) = 4\cos^3x - 3\cos x[/tex3]

[tex3]\cos 60 = 4\cos^320 - 3\cos 20[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2} = 4\cos ^320 - 3\cos 20[/tex3]

[tex3]8\cos ^320 - 6\cos 20 = 1[/tex3]


Não consigo fazer mais nada, mas se tu conseguir desmembrar esse cosseno de 20 o de 10 fica simples para achar e a resposta sai

[MacoZampi]

[tex3]\cossec10 - \sqrt{3}\cdot\sec10º[/tex3]

= [tex3]\frac{1}{\sen10º} - \frac{\sqrt{3}}{\cos10º}[/tex3]

= [tex3]\frac{\cos10º - \sqrt{3}\cdot\sen10}{\sen10º\cdot\cos10º}[/tex3]

ai multiplica em cima e em baixo por 2

= [tex3]\frac{2\cdot(\cos10 - \sqrt{3}\cdot\sen10)}{2\cdot\sen10\cdot\cos10}[/tex3]

como [tex3]\sen(2\cdot x) = 2\cdot\sen(x)\cdot\cos(x)[/tex3], [tex3]2\cdot\sen10\cdot\cos10=\sen20[/tex3]

= [tex3]\frac{2\cdot(\cos10 - \sqrt{3}\cdot\sen10)}{\sen20}[/tex3]

ai em cima, multiplica e dividi por 2, e já põe o [tex3]\frac{1}{2}[/tex3] dentro do parênteses

[tex3]=\frac{4\cdot\left(\frac{1}{2}\cdot\cos10 - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sen10\right)}{\sen20}[/tex3]

como [tex3]\sen30=\frac{1}{2}[/tex3] e [tex3]\cos30=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

=[tex3]\frac{4\cdot(\sen30\cdot\cos10 - \cos30\cdot\sen10)}{\sen20}[/tex3]

ai como [tex3]\sen(a-b) = \sen(a)\cdot\cos(b) - \cos(a)\cdot\sen(b)[/tex3], escolhemos [tex3]a=30[/tex3] e [tex3]b = 10[/tex3] e temos que [tex3]\sen30\cdot\cos10 - \cos30\cdot\sen10 = \sen20[/tex3], substituindo:

=[tex3]\frac{4\cdot\sen20}{\sen20}=4[/tex3]

alternativa (D)

demorei 49 minutos pra conseguir escrever isso ehauehauehauheauh, acho q tah certo

[poti]

Linda resolução cara, mas ainda não desisti do meu jeito, um dia eu chego lá, ahuahuashuahu.

[Natan]

E para resolver foram quantos minutos?, aauhuauahau

muito bem sacado cara, parabéms!

[mvgcsdf]

Valeu, MacoZampi.
Show de bola a resolução.
Obrigado pela força!!