Ensino Médio ⇒ Demonstração: Princípio da Inclusão-Exclusão Tópico resolvido

[bruninha]

Demonstrar que para dois conjuntos [tex3]A[/tex3] e [tex3]B[/tex3] quaisquer, finitos, tem-se:

[tex3]n(A\, \cup \,B)\, =\, n(A)\, +\, n(B)\, -\, n(A\, \cap \,B)[/tex3]

[Alexandre_SC]

a intersecção de A e B é o conjunto [tex3]A\cap B = {x / x \in A \, e \, x \in B}[/tex3]

e a união de A e B é definida pela lei [tex3]A\cup B = {x / x \in A \,Ou\, x \in B}[/tex3]

seja a um elemento qualquer pertencente a:
e1 - se [tex3]a \in A \rightarrow a \in A\cup B[/tex3]
e2 - se [tex3]a \in B \rightarrow a \in A\cup B[/tex3]
e3 - se [tex3]a \in B\, e\, a \in A \rightarrow a \in A \cap B \,e \, a \in A \cap B[/tex3]
regra dos conjuntos: nenhum elemento pode se repetir em um conjunto

note que os elementos encaixados na regra tres, são contados duas vezes quando fazendo n(A)+n(B) mas apenas uma quando fazendo-se [tex3]n(A\cup B)[/tex3]. Ou seja a
[tex3]n(A\cup B) = n(e1)+n(e2)+n(e3) \\ n(A) = n(e1)+n(e3) \\ n(B) = n(e2) + n(e3) \\ n(A \cap B) = n(e3)[/tex3]

veja que:

[tex3]n(A\cup B) = n(A)+n(B) - n(A\cap B)= (n(e1)+n(e3))+(n(e2) + n(e3)) - n(3) = n(e1)+n(e2)+n(e3)[/tex3]