Ensino Superior ⇒ Áreas entre curvas

[Natan]

Calcule a área entre a curva [tex3]y=4-x^2,[/tex3] a reta tangente a ela no ponto de abscissa 1, e o eixo x.

[adrianotavares]

Olá, Natan.

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Vamos calcular primeiro a equação da reta.

[tex3]x_1=1[/tex3]

[tex3]y_1=4-1^2 \Rightarrow y_1=3[/tex3]

[tex3]f(x)=4-x^2 \Rightarrow f'(x)=-2x[/tex3]

Substituindo no ponto de abscissa [tex3]x=1[/tex3] teremos:

[tex3]f'(x)=-2.1 \Rightarrow f'(x)=-2[/tex3]

[tex3]y-y_1=f'(x)(x-x_1) \Rightarrow y-3=-2(x-1) \Rightarrow y=-2x+5[/tex3]

Vamos calcular agora o ponto onde a reta corta o eixo das abscissas.

[tex3]y=-2x+5[/tex3]

[tex3]x=0[/tex3] [tex3]y=5[/tex3]

[tex3]y=0[/tex3] [tex3]x=2,5[/tex3]

Logo, teremos:

[tex3]A=\int_0^ {2,5} [-2x+5-(4-x^2)]dx \Rightarrow A=\int_0^{2,5} (x^2-2x+1)dx[/tex3]

[tex3]A=\frac{x^3}{3}-x^2+x[/tex3]

Calculando teremos:

[tex3]A=\frac{125}{24}-\frac{25}{4}+\frac{5}{2}-0 \Rightarrow A=\frac{35}{24}[/tex3] u.a