Ensino Médio ⇒ Análise Combinatória e Geometria Espacial Tópico resolvido

[paulo testoniMOD]

Qual o número de diagonais das faces e das bases de um prisma de [tex3]2n[/tex3] vértices?

a) [tex3]n(n-3)[/tex3]
b) [tex3]n(n+3)[/tex3]
c) [tex3]n(n+2)[/tex3]
d) [tex3]n(n-1)[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Paulo,

Pela simetria de um prisma podemos concluir que, se ele tem [tex3]2n[/tex3] vértices, [tex3]n[/tex3] deles serão na base e [tex3]n[/tex3] deles no topo. Ou seja, a base do prisma é um polígono de [tex3]n[/tex3] lados e a lateral do prisma possui [tex3]n[/tex3] retângulos.

A quantidade de diagonais na base serão: [tex3]C_n^2-n[/tex3], mas como também temos o topo, contabilizamos duas vezes este valor.

Cada retângulo lateral irá contribuir com mais 2 diagonais, como temos [tex3]n[/tex3] retângulo, a lateral irá produzir [tex3]2n[/tex3] diagonais.

Somatório final: [tex3]2\cdot(C_n^2-n)+2n[/tex3]

[tex3]\frac{2\cdot n!}{2!(n-2)!}-2\cdot n+2n[/tex3]

[tex3]\frac{2n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!}[/tex3]

[tex3]n(n-1)[/tex3]

Atenciosamente
Prof. Caju
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