Ensino Médio ⇒ Mostre!

[jothar]

Mostre que existem [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] racionais tais que [tex3]\sqrt{18 - 8\sqrt{2}} = a + b\sqrt{2}[/tex3].

[marcelostick]

Usando a forma reduzida do radical duplo , vemos que ele pode ser escrito como a diferença de dois radicais simples , que é

[tex3]\sqrt{16}-\sqrt{2}[/tex3] que nada mais é do que [tex3]4 - \sqrt{2}[/tex3] . Como a e b são racionais , temos que : a = 4 e b = 1 .

Abraços .

[bruno1993]

O que seria "redução do radical duplo"???

[Thadeu]

Bruno, a fórmula para se reduzir radical duplo é:
[tex3]\sqrt{a\pm\,\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+c}{2}}\pm\,\sqrt{\frac{a-c}{2}}[/tex3]

Onde [tex3]c=\sqrt{a^2-b}[/tex3]

[marcelostick]

Na verdade eu quis dizer a seguinte forma :

[tex3]\sqrt{a+\sqrt{b}} = \sqrt{X} + \sqrt{Y}[/tex3]

Elevando os dois lados ao quadrado , temos :

[tex3]a + \sqrt{b} = X+Y+2\sqrt{XY}[/tex3]

Aí , o a será igual ao X+Y e o [tex3]\sqrt{b}[/tex3] será igual ao [tex3]2\sqrt{XY}[/tex3]
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Exemplo : [tex3]\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{a}+\sqrt{b}[/tex3]

Teremos que a+b = 3
E também que 2 [tex3]\sqrt{2}[/tex3] é igual a 2 [tex3]\sqrt{ab}[/tex3]

Daí nós pesamos : Dois números cuja soma e 3 e o produto e 2 ...
Dois e um .

Logo esse radical duplo nada mais é que : [tex3]\sqrt{2}+1[/tex3]

[bruno1993]

Hum, dessa formula não sabia, obrigada!