MATEMÁTICA APLICADA ⇒ Espaço nulo X Autovalores e Autovetores X Variância

[Elias]

Tomando como ponto de partida a decomposição em autovalores e autovetores seguinte, [tex3]SW=\Lambda W[/tex3], onde [tex3]W[/tex3] e [tex3]\Lambda[/tex3] são, respectivamente, as matrizes de autovetores e auutovalores de [tex3]S[/tex3], sendo [tex3]S \in R^{d \times d}[/tex3].

Se [tex3]N\left( S \right)[/tex3] é o espaço nulo de [tex3]S[/tex3], ou seja, [tex3]N\left( S \right) = \left\{ w \,\,|\,\, w\in R^{d\times 1} \wedge Sw=0 \right\}[/tex3].

Então é correto afirmar que as soluções do sistema [tex3]Sw=0[/tex3] sempre estão contidas na solução da decomposição em autovalores e autovetores [tex3]SW=\Lambda W[/tex3] ?

Em outras palavras, se [tex3]\exists w \in N\left( S \right)[/tex3] com [tex3]w\neq 0[/tex3], então [tex3]w \subset W[/tex3] ?.

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Fazendo [tex3]\lambda_i = \Lambda\left( i,~i \right)[/tex3] com [tex3]1 \leq i \leq d[/tex3].

Se a resposta a pergunta anterior for afirmativa, implica que, como formamos [tex3]w\neq 0[/tex3], então [tex3]\forall w \in N\left( S \right)\; \exists \lambda_i = \Lambda\left( i,~i \right)\;\big|\;\lambda_i= 0[/tex3]. Ou seja, se existe autovetor de [tex3]S[/tex3] pertencente ao espaço nulo de [tex3]S[/tex3], então o autovalor associado a este autovetor é nulo.

Diante disto é correto afirmar que autovetor associado a autovalor nulo indica eixo de variância nula em [tex3]S[/tex3]?
(a fonte comprovando caso afirmativo?)