Olimpíadas ⇒ teoria dos numeros (inteiro de 2 numeros)

[rean]

O inteiro n e tal que [tex3]n2^n[/tex3] possui 2008 divisores a mais que n . A soma dos algarismos de n é igual a.

resp. 5 ou 7

[walisson]

Só achei 0 7 como resultado, alguém pode me dizer o que eu errei na resolução?

Seja X o número de divisores de n, portanto os divisores de n mais 2008 é igual ao número de divisores de [tex3]n2^n[/tex3](o número de divisores de um número fatorado é a multiplicação de todos os expoentes somados 1):

X+2008 = X(n+1)
2008 = Xn+X-X
2.2.2.251 = Xn

X = 2
n = 2.2.251
n teria 6 divisores e não 2

X = 2.2
n = 2.251
correto pois n tem realmente quatro divisores

X = 2.2.2
n = 251
n teria 2 divisores e não 8

n = 502
5+0+2 = 7

[bruno1993]

Você considerou os divisores negativos do número?

[walisson]

considerando n = 1004 percebi que a equação também é verdadeira:
1004 - são 6 divisores

Os divisores de [tex3]n2^n[/tex3] é:
[tex3]2^2[/tex3].251.[tex3]2^1004[/tex3]
[tex3]251^1[/tex3].[tex3]2^{1004+2}[/tex3]
(1+1).(1004+2+1) = 2014

Pondo na equação:
Divisores de n+2008 = [tex3]n2^n[/tex3]
6+2008 = 2014
2014 = 2014

as soluções são 502 e 1004, mas não consegui chegar à um calculo para achar o 1004, isso que está me faltando

[Auto Excluído (ID:276)]

são os fatores primos de n e não ''n'' .... tem fazer a fatoração de primos de n com seus respectivos expoentes e aplicar a sua equação ....