Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica no Espaço: Reta Tópico resolvido

[silvia]

Estou com dois exercicios que não consigo fazer, será que daria para alguém dar me uma explicação?

1) Determine as equações simétricas da reta que passa pelo ponto [tex3]M ( 2, 1, -1)[/tex3] e é perpendicilar à reta r de equação vetorial [tex3]r:X= ( 2, 0, 0) +\lambda (3, 1 , -1),\,( \lambda \in \mathbb{R})[/tex3]


2) Dados os pontos médios [tex3]M (2, 1, 3),\, N (5, 3, -1)[/tex3] e [tex3]P (3, -4, 0)[/tex3] dos lados de um triângulo [tex3]ABC,[/tex3] determine as equações paramétricas do lado deste triângulo, cujo ponto médio é o ponto [tex3]M.[/tex3]

[cajuADMIN]

Olá Sílvia,

Primeiramente vou lhe dar uma dica, não poste mais de uma questão no mesmo tópico, isso só ajuda a atrasar a resolução de suas dúvidas. Pois os outros podem se sentir na obrigação de responder todas questões de uma só vez.

1) Para encontrar a reta perpendicular a reta dada passando pelo ponto, devemos encontrar primeiramente o plano perpendicular a reta dada passando pelo ponto. Após isso encontramos a intersecção deste plano com a reta. E, por último, encontramos a reta que passa pelo ponto de intersecção e o ponto dado.

Para encontrar o plano (X, Y, Z), fazemos o produto escalar da direção da reta (3, 1, -1)) com (X, Y, Z).

[tex3](X, Y, Z)\cdot(3, 1, -1)=0[/tex3]

[tex3]3X+Y-Z=0[/tex3]

[tex3]Z=3X+Y[/tex3]

Agora podemos encontrar a equação paramétrica do plano. Chamando X=t e Y=s temos a equação paramétrica:

[tex3]\begin{cases}X=t\\Y=s\\Z=3t+s\end{cases}[/tex3]

Mas esse plano deve passar pelo ponto [tex3](2, 1, -1)[/tex3], para isso é só somar as coordenadas do ponto às equações paramétricas:

[tex3]\begin{cases}X=2+t\\Y=1+s\\Z=-1+3t+s\end{cases}[/tex3]

A equação paramétrica da reta dada é:

[tex3]\begin{cases}X=2+3\lambda\\Y=\lambda\\Z=-\lambda\end{cases}[/tex3]

A intersecção do plano com a reta será encontrada através do sistema:

[tex3]\begin{cases}2+t=2+3\lambda\\1+s=\lambda\\-1+3t+s=-\lambda\end{cases}[/tex3]

Que dá como resposta [tex3]\lambda=\frac{2}{11}[/tex3]

Substituindo este valor de [tex3]\lambda[/tex3] na equação da reta do enunciado, encontramos o ponto

[tex3]\left(\frac{28}{11}, \frac{2}{11},\frac{-2}{11}\right)[/tex3]

Agora, para encontrar a resposta, devemos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos [tex3]\left(\frac{28}{11}, \frac{2}{11},\frac{-2}{11}\right)[/tex3] e [tex3](2, 1, -1)[/tex3]

O vetor direção da reta pode ser encontrado fazendo a subtração das coordenadas destes pontos:

[tex3]\vec{v}=\left(\frac{-6}{11}, \frac{9}{11}, \frac{-9}{11}\right)[/tex3]

Como é um vetor, podemos utilizar qualquer múltiplo dele. Para facilitar, vamos utilizar com valores inteiros, multiplicando por 11.

[tex3]\vec{v}=(-6, 9, -9)[/tex3]

Sendo que a reta resposta passa pelo ponto (2,1,-1) e tem direção dada por (-6, 9, -9), sua equação é:

[tex3](2,1,-1)+\lambda(-6, 9, -9)[/tex3]

Fiz os cálculos sem utilizar rascunhos, confira, pode ter alguns errinhos...

Atenciosamente
Prof. Caju
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