Olimpíadas ⇒ área de um triângulo em função dos lados Tópico resolvido

[rean]

prove que a área de um triangulo em função de seua lados e dado por

[tex3]\sqrt{P(P-a)(P-b)(P-c)}[/tex3]

[FilipeCaceres]

A formula é simples mas dah trabalho algebrico ate chegar ai, mas vamos lah.

Da figura podemos tirar:

[tex3]\Delta ABC: h_a^2=c^2-n^2[/tex3] (1)

Relação métrica [tex3]\Delta ABC \Rightarrow b^2=c^2+a^2\pm 2an[/tex3]
[tex3]\Rightarrow n=\frac{c^2+a^2-b^2}{\pm2a}[/tex3] (2)

Substituindo (2)em(1)

[tex3]h_a^2=c^2-\(\frac{c^2+a^2-b^2}{\pm2a}\)^2=\frac{4a^2a^2-(c^2+a^2-b^2)^2}{4a^2}[/tex3]
[tex3]=4a^2h_a^2=[2ca+c^2+a^2-b^2][2ca-c^2-a^2+b^2][/tex3]
[tex3]=[(c^2+2ca+a^2)-b^2][b^2-(c^2-2ca+a^2)][/tex3]
[tex3]=[(c+a)^2-b^2][b^2-(c-a)^2][/tex3]
[tex3]=(a+b+c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b-c)[/tex3]

[tex3]\Rightarrow 4a^2h_a^2=(a+b+c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b-c)[/tex3] (3)

Fazendo [tex3]a+b+c=2p[/tex3]
Temos:
[tex3]{-a+b+c}=-a+b+c+a-a=a+b+c-2a=2(p-a)[/tex3]
[tex3]a-b+c=a-b+c+b-b=a+b+c-2b=2(p-b)[/tex3]
[tex3]a+b-c=-a+b-c+c-c=a+b+c-2c=2(p-c)[/tex3]

Substituindo (3)

[tex3]\Rightarrow 4a^2h_a^2=\underbrace{(a+b+c)}_{2p}\underbrace{(a-b+c)}_{2(p-a)}\underbrace{(-a+b+c)}_{2(p-b)}\underbrace{(a+b-c)}_{2(p-c)}[/tex3]

[tex3]\Rightarrow 4a^2h_a^2=2p\cdot 2(p-a)\cdot 2(p-b)\cdot 2(p-c)[/tex3]

[tex3]\boxed{ h_a=\frac{2}{a}\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}[/tex3]

Anlogamente se encontra [tex3]h_b[/tex3] e [tex3]h_c[/tex3]

Usando a formula para calcula um triangulo
[tex3]S=\frac{a\ast h_a}{2}[/tex3] e substituindo [tex3]h_a[/tex3]

Provamos que:

[tex3]\boxed{ S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}[/tex3]

Espero que tenha entendido.