Pré-Vestibular ⇒ (UFU 2010-2) Polinômios Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

Considere o polinômio de variável real p(x) = [tex3](x-1).(x^2-2).(x^3-4).(x^4-8).(x^5-16)....(x^{15}-16384).[/tex3] Então ,o grau de p e o valor de p(2) são,respectivamente:
A) 120 e [tex3]2^{112}[/tex3]
B) 136 e [tex3]2^{112}[/tex3]
C) 136 e [tex3]2^{105}[/tex3]
D) 120 e [tex3]2^{105}[/tex3]

Resposta

---

D

[adrianotavares]

Olá, jose carlos de almeida.

Note que o grau é dado por:

[tex3]x.x^2.x^3....x^{15}=x^{1+2+3...15}[/tex3]

Que é igual a soma dos termos de uma PA de razão [tex3]1[/tex3]

[tex3]S_{n}=\frac{(a_1+a_n).n}{2} \Rightarrow S_{15}=\frac{(1+15).15}{2} \Rightarrow 120[/tex3]

O valor de [tex3]P(2)[/tex3] é dado por:

[tex3](1).(2).(4).(8)...(32768)[/tex3]

Que é igual ao produto dos termos de uma PG de razão igual a [tex3]2[/tex3] e primeiro termo igual a [tex3]1[/tex3]

[tex3]P_n=a_1 q^{\frac{n(n-1)}{2}} \quad P=1 \cdot 2^{\frac{15 \cdot 14}{2}} \Rightarrow P=2^{105}[/tex3]

Alternativa:D