Pré-Vestibular ⇒ (Ufop 2010) Funções Tópico resolvido

[jose carlos de almeida]

Considere as funções de [tex3]\Re[/tex3] em [tex3]\Re[/tex3] dadas por [tex3]f(x)=x^2[/tex3] e [tex3]g(x)=-x^2+2.[/tex3] Para cada [tex3]x\in\Re[/tex3],seja d(x) a distância entre os pontos dos gráficos de f e g que têm abscissa x.
A) Dê uma expressão para d(x).
B) Qual o valor máximo de d(x) para x no intervalo [tex3]\left[\begin{array}{c}\frac{-1}{2},\frac{3}{2}\end{array}\right][/tex3]

[deOliveira]

[tex3]f(x)=x^2 \hspace{1cm}g(x)=-x^2+2[/tex3]
Sejam [tex3]A=(x_A,y_A) [/tex3] e [tex3]B=(x_B,y_B)[/tex3] dois pontos, então a distância entre eles é dada por [tex3]\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2}[/tex3]
Dessa forma, [tex3]d(x)=\sqrt{(x-x)^2+(f(x)-g(x))^2}=\sqrt{[x^2-(-x^2+2)]^2}=\sqrt{(2x^2-2)^2}[/tex3]
[tex3]\boxed{d(x)=|2x^2-2|}[/tex3]

Vamos observar a função [tex3]2x^2-2[/tex3]
raízes [tex3]-1[/tex3] e [tex3]1[/tex3]
maior que zero para [tex3]x<-1[/tex3] ou [tex3]x>1[/tex3]
menor que zero para [tex3]-1< x<1[/tex3]
vértice [tex3](0,-2)[/tex3]

Dessa forma, podemos concluir que o ponto de máximo de [tex3]d(x)[/tex3] no intervalo [tex3]\left[-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right][/tex3] serão ou o vértice (0,-2) ou os extremos do intervalo. Vamos então calcular o valor de d nesses pontos:
[tex3]d\left(-\frac{1}{2}\right)=\left|2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^2-2\right|=\left|2\cdot\left(\frac{1}{4}\right)-2\right|=\left|\frac{1}{2}-2\right|=\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]d(0)=|2\cdot 0^2-2|=2[/tex3]
[tex3]d\left(\frac{3}{2}\right)=\left|2\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^2-2\right|=\left|2\cdot\left(\frac{9}{4}\right)-2\right|=\left|\frac{9}{2}-2\right|=\frac{5}{2}[/tex3]
[tex3]\therefore \left(\frac{3}{2}\right)[/tex3] é o ponto de máximo.

Fazer o esboço do gráfico sempre ajuda.

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Espero ter ajudado