Concursos Públicos ⇒ Área Máxima (função) Tópico resolvido

[rean]

ABCD é um quadrado cujo lados medem 1 m, tomando-se os pontos E e F respectivamente, em AB e AD tais que AE=AF e a área do quadrilátero CEFD seja máxima. Em metros quadrados, essa área máxima mede.

a) 1/2 b) 9/16 c) 5/8 d) 2/3 e) 19/32

obs faça a figura

[Alexandre_SC]

sendo x = AE

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observe que o quadrilátero é a diferença entre o quadrado e os triângulos EFA e EBC

a altura de EBC é 1m e a base é 1m - x portanto sua área é [tex3]\frac{(1m-x)\cdot m}{2}[/tex3]

a altura de EFA assim como sua base é x portanto sua área é [tex3]\frac{x^2}{2}[/tex3]

do quadrilátero EFDC é [tex3]1m^2 - \frac{(1m-x)\cdot m + x^2}{2}[/tex3]
colocando-se 1m^2 dentro da fração

[tex3]\frac{-x^2 +xm + 3m^2}{2}[/tex3]

o ponto máximo é [tex3]\frac{-b}{2a} = \frac{-m}{2\cdot(-1)} = \frac{1}{2}m[/tex3]

[edu_landim]

Não colocando a unidade metros na expressão, a área [tex3]y[/tex3] do quadrilátero é dada por

[tex3]y\,=\,\frac{-x^2}{2}\,+\,\frac{x}{2}\,+\,\frac{1}{2}[/tex3] (há um equivoco nos cálculos da mensagem anterior)

Além disso, deseja-se a área máxima, ou seja, [tex3]y_V[/tex3].

[tex3]x_V\,=\,\frac{-\frac{1}{2}}{2\,\cdot\,\left(-\frac{1}{2}\right)}\,=\,\frac{1}{2}[/tex3]

Substituindo [tex3]x_V[/tex3] na lei da função temos, [tex3]y_V\,=\,-\frac{1}{8}\,+\,\frac{1}{4}\,+\,\frac{1}{2}\,=\,\frac{5}{8}[/tex3]