Olimpíadas ⇒ OMA-2007 Tópico resolvido

[Marcos]

Seja ABC um triângulo isósceles com AB=AC e Â=30.Seja D o ponto médio da base BC.Considera-se o ponto P no segmento AD e um ponto Q no do AB tal que PB=PQ.
Calcule a medida do ângulo PQC.

Resposta

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Resposta:15 graus.

[lftm]

Como ABC é isósceles, a mediana e a altura relativas a A são a mesma reta. Logo, os ângulos ADB e ADC são retos. Pelo caso lado-ângulo-lado, concluímos que os triângulos PBD e PCD são congruentes. Logo, PB=PC. Chamemos o ângulo PBC = a, como BCP é isósceles, o ângulo BPC = 180º - 2a. Como ABC é isósceles e o ângulo do vértice é 30º, os ângulos da base valem 75º. Assim, PBQ = 75º - a .

Mas o triângulo PBM também é isósceles, assim o ângulo BPQ = 180º - 150º + 2a = 2a + 30º. Temos a relação entre ângulos: BPQ + BPC + CPQ = 2a + 30º + 180º - 2a + CPQ = 360º, o que implica CPQ = 150º. Finalmente, o triângulo CPQ também é isósceles, portanto, o ângulo PQC = QCP = (180º - 150º)/2 = 15º.